Brincando com o infinito (1)

[NOTA: há dois novos parágrafos antes da (nova) terceira conclusão].

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O Luís-Aguiar Conraria propõe-nos um desafio muito interessante como "parábola" sobre redistribuição e a Segurança Social:
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«Imaginem uma fila com um número infinito de crianças. Cada uma tem um chocolate na mão. A primeira criança é a única de mãos vazias. A segunda criança dá um chocolate à primeira, a terceira à segunda, a quarta à terceira, a quinta à quarta e assim sucessivamente. A primeira criança ganhou um chocolate. Todas as outras ficaram com o chocolate que tinham.»
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Há aqui quatro questões "positivas" a ter em conta: 1) a taxa de troca intertemporal entre chocolates, 2) a hipótese de os chocolates "cairem do céu" (e os incentivos que o sistema proposto gera), 3) o problema da interpretação, uso, e adequabilidade do conceito de infinito, e 4) a pirâmide etária subjacente.

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Haverá uma conclusão para cada uma das quatro questões. 1) é, como veremos, irrelevante. 2) e 3) são ambas erros ontológicos. 4) sugere uma desadequação à realidade que se vive hoje.

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Os problemas "normativos", ligados ao direito de impor estas trocas coercivamente, devem, dada a complexidade do problema em si, ser para já deixados de lado. Ou seja, o problema reduz-se para já a pensar se seria "de facto" possível ter o mecanismo que o LA-C propõe, independentemente de isso ser ou não desejável. O André Azevedo Alves levanta uma questão normativa neste post.

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Como veremos adiante, a hipótese crucial que leva à rejeição do argumento proposto é a ideia subjacente de que os chocolates "caem do céu". Há também um uso inadequado do conceito de infinito. Outra hipótese que é algo falaciosa para descrever nos dias de hoje o problema da redistribuição e da Segurança Social, é tu assumires que a troca redistributiva se dá de 1 para 1, isto é, que cada criança paga a e recebe de exactamente uma criança.

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Para facilitar a leitura, pensemos que as crianças estão numeradas como os números inteiros, 1, 2, 3, 4, ...

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O João Miranda começa por pegar no ponto 1), contrapondo:
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«O grande problema da segurança social é que enquanto o chocolate passa de mão em mão há crianças à espera. Qualquer criança prefere comer o chocolate agora a esperar por daqui a 30 segundos. Cada criança acabará por receber um chocolate cujo valor é inferior àquele a que tem direito. Se elas vão ter que ficar à espera do chocolate têm que ser compensadas com mais chocolate.»
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Ao que o Luís Aguiar-Conraria responde:
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«Considere-se o esquema alternativo. A segunda criança dá metade de um chocolate à primeira. A terceira dá dois terços à segunda, a quarta dá quatro quintos à terceira, a quinta dá cinco sextos e assim sucessivamente. A primeira criança recebe meio chocolate pelo que fica a ganhar. A segunda dá metade, mas recebe dois terços. A que lhe dá os dois terços recebe três quartos e assim sucessivamente. Cada uma recebe mais do que aquilo que dá. Com este esquema distributivo cada criança, individualmente considerada, fica com mais chocolate para se consolar.»
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JM refere um problema interessante, mas facilmente ultrapassável por as crianças serem em número infinito. A resposta do LA-C é incorrecta, por um argumento simples de continuidade.
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Para perceber que o que JM aponta - tal como está enunciado - não é problema grande, imaginemos que cada criança só está disposta a trocar 1 chocolate hoje por X > 1 chocolates amanhã. Por exemplo, X = 10. Ora, como estamos a falar de um conjunto infinito de crianças, podemos pensar que as crianças 2-11 darão os seus (10) chocolates à criança 1, as crianças 12-21 darão os seus (10) chocolates à criança 2, e assim sucessivamente. Como há um conjunto infinito de crianças, será sempre possível redistribuir 10 chocolates para cada criança. Mais, isso será verdade para qualquer número finito. Se uma criança exigir 1.000.000 de chocolates, o argumento é exactamente o mesmo.

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[Poder-se-á contrapor que se as crianças não viverem uma vida infinita, eventualmente será impossível redistribuir para números maiores que Ct, em que Ct seria o número de crianças em cada período t. O que interessa é que o tipo de argumento aqui usado não é um desafio verdadeiro ao problema "teórico" do LA-C porque ele se baseia num conjunto infinito.]
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A resposta de LA-C é incorrecta, por um argumento de continuidade. Imaginemos que cada criança exige em troca de um chocolate hoje, (1 + a) chocolates amanhã. Imaginemos que a é um número tão pequeno quanto se queira. A proposta que o LA-C faz é que a criança com número t dará (t - 1) / t chocolates à criança t-1. Por exemplo, a segunda criança dá 1/2 à primeira, a terceira criança dá 2/3 à segunda, etc. Ora, o balanço de cada criança t é que ela dá (t - 1) / t e recebe t / (t + 1). Subtraindo o primeiro termo ao segundo, obtemos o benefício líquido para cada criança t, que é igual a 1 / [ (t+1) t ].
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É aqui que entra o argumento da continuidade. Para qualquer valor de a, por muito pequeno que seja a, haverá sempre um t* tal que para todo o t > t*, a > 1 / [ (t+1) t ]. Por palavras: qualquer que seja o valor a, que é o que cada criança exige adicionalmente para trocar um chocolate hoje por outro amanhã, haverá sempre um conjunto de crianças "suficientemente longínquas" que prefeririam não fazer a troca, porque o benefício líquido que as crianças obteriam, 1 / [ (t+1) t ], seria menor que aquilo que exigem, a. Isto é sempre verdade porque como o conjunto de crianças é infinito, haverá sempre um número t* a partir do qual todas as crianças de número t > t* ficarão piores com a troca.

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Por exemplo, imaginemos que cada criança exigirá 1.1 chocolates amanhã por 1.0 chocolate hoje. Ou seja, a = 1/10. Só troco 100 gramas de chocolate hoje por 110 gramas de chocolate amanhã. Cada criança só aceitará a troca se receber mais do que 1/10 de chocolate amanhã. A criança número 3 será a primeira a ficar insatisfeita, porque dá 2/3 à criança número 2 e recebe 3/4 da criança número 4. Ora, 3/4 menos 2/3 é igual a 1/12, que é menor que 1/10, sendo 1/10 aquilo que cada criança exige. Logo, todas as crianças número t para t > 2 não aceitariam a troca.

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O problema está em que, apesar de cada criança ficar com "mais" chocolate para se consolar, haver sempre crianças para as quais o "consolo" não será suficiente para calar a "birra" que elas fazem.

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A primeira conclusão a tirar daqui é que, por existir um número infinito de crianças, a questão de elas exigirem mais que 1 chocolate para a troca não é um problema, como algumas pessoas afirmaram nos comentários ao post inicial do LA-C.

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O João Miranda depois pega no ponto mais importante - 2), que é a ideia dos chocolates "cairem do céu":

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«Este esquema: Considere-se o esquema alternativo. A segunda criança dá metade de um chocolate à primeira. A terceira dá dois terços à segunda, a quarta dá quatro quintos à terceira, a quinta dá cinco sextos e assim sucessivamente. A primeira criança recebe meio chocolate pelo que fica a ganhar. A segunda dá metade, mas recebe dois terços. A que lhe dá os dois terços recebe três quartos e assim sucessivamente. Cada uma recebe mais do que aquilo que dá. Com este esquema distributivo cada criança, individualmente considerada, fica com mais chocolate para se consolar. tem um pequeno problema. Não se percebe de onde vem o chocolate. Como é que cada geração consegue produzir cada vez mais chocolate para alimentar a velhice da anterior se não há poupança?»

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A questão crucial tem mesmo a ver com a hipótese de os chocolates "caírem do céu". Esta visão quase recorda um pouco da teoria comunista, que pretendendo distribuir a riqueza igualmente, "esqueceu-se" de perceber que isso mudava os incentivos, e no fim todos acabavam iguais, sim... mas em extrema pobreza. A hipótese de que há chocolates "a priori" não faz sentido na economia, porque as coisas têm que ser produzidas. Além disso, a hipótese de que a troca inter-geracional não provocaria alterações na economia também me parece desadequada. Até a escolha de ter filhos seria influcenciada por um tal mecanismo redistributivo, por exemplo. E mesmo que consideremos que os chocolates são produzidos e não caídos do céu, seria ingénuo pensar que um qualquer sistema de redistribuição não afectaria os incentivos à produção.

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A segunda conclusão é que não podemos achar que o BOLO que há para distribuir "cai do céu". Se bem me lembro, o Nozick aponta isto no seu "Anarchy, State, and Utopia". Por outras palavras, a "parábola" aplicada à economia sofre dum erro ontológico, por considerar certas coisas como "dadas" no mundo (bem) real da economia.

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Podemos, se quisermos manter o entretenimento cerebral, substituir os chocolates por "braços", que são (salvo deficiência) algo que qualquer criança teria sempre para a troca. Assim, poderíamos por a questão teórica de saber se poderíamos cortar os braços a crianças futuras de forma redistributiva. Mas fazer a analogia com a economia é muito perigoso, porque as coisas não podem ser tidas como dadas, como se viessem do nada.

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Logo, o comentário do LA-C, Nestes posts demonstrei que a função distributiva do estado não tem de ser um jogo de soma nula (ou até mesmo negativa) como defendem muitos liberais. Esta questão é um problema eminentemente económico. Nos próximos posts tentarei enriquecer a análise, não é aceitável, porque é ontologicamente errado. Diria que o teu "demonstrei" é excessivo para um post apelidado de "laracha", mas ok. A contradição seguinte é que é importante. É que é exactamente por ser um problema "económico" e não "abstracto" que a tua analogia é falaciosa, porque as coisas não "caem do céu". Na minha opinião, caro LA-C, acho que seria melhor esquecer esta laracha enquanto analogia e ponto de partida para um debate sério sobre redistribuição e propostas para uma Segurança Social. Como quizz ou (literal) laracha, tudo bem.

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Quanto ao problema do infinito em si, há a questão de que um dia a vida na Terra acabará. Será isto muito relevante? SIM.

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Os dois parágrafos que se seguem são NOVOS.

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Repara que muitas vezes os economistas usam o "infinito" para simplificar a questão colocada em termos de tractability. Seja porque lhes permite usar a Lei dos Grandes Números, ou fazer uma optimização dinâmica mais simples, eles não mudam a natureza do problema. Ora neste caso isso é o que de facto acontece. Porque o teu resultado - a tua intuição - cai pela base se assumirmos que a sequência não é, por muito longa que seja, infinita. Trata-se da questão (ver o livro recomendado abaixo de BJC) da passagem ao infinito constituir ou não uma alteração qualitativa ou meramente quantitativa. Isto tem a ver com a noção matemática de limite.

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Por exemplo, a LGN só se verifica no limite, mas a essência do seu resultado não depende disso. Porque vai havendo convergência. Mas no teu caso é a essência que está em causa. Porque o problema cai pela base se não houver infinito. Esse salto qualitativo é um problema grave, ao contrário do que eu escrevi inicialmente. Se a hipótese de que os chocolates "caem do céu" não é realista num contexto económico, o uso desadequado do infinito" permite o "truque" de conseguir um resultado de soma não nula, mas que não é válido porque esse "salto qualitativo" não é realista. Não se pode "passar ao limite" neste caso, porque as coisas se tornam qualitativamente diferentes.

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A terceira conclusão é que a hipótese do "infinito" é, strictu sensu, inadequada. É ela que dá uma natureza diferente ao problema, e esse salto qualitativo é neste caso falacioso, porque irrealista. Ela não aparece como forma de simplificação analítica, mas antes origina o resultado sugerido.

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Há ainda outra crítica que tem a ver com a estrutura etária da população. Repara que a tua "metáfora" equivale a assumir que em cada período o número de pessoas é o mesmo. Ora, nós sabemos que esse é um dos problemas "reais" da nossa economia. Tu terias que considerar não um problema em que há 1 criança por período, mas onde o número de crianças é decrescente.

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A quarta conclusão é que isto altera radicalmente o teu resultado, porque no futuro haveria recursos decrescentes, o que decorreria da evolução "negativa" da natalidade e pirâmide etária.

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Por exemplo, assumamos que o número de crianças em cada período é de 1000/t. Há 1000 crianças, depois 500, depois 250, e por aí fora. Ora, todos sabemos que a soma de 500, 250, 125, 62.5, ..., é..., pois, 1000. Ou seja, para dar 1 chocolate às 1000 crianças iniciais, terias que retirar TODOS os chocolates futuros, até ao infinito. É este um exemplo extremo? É. Ilustra ele de forma nao falaciosa o problema da pirâmide geracional invertida num sistema pay-as-you-go como o português? Sim. A tua hipótese de haver "uma" criança a redistribuir para "uma" criança ignora aquele que é o problema ("positivo") fulcral nos sistemas de segurança social em pré-falência que abundam por essa Europa fora.

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Quanto à questão teórica do "infinito", ela é muito interessante, e haveria mais comentários a fazer, em resposta a outros que se deram na caixa dos comentários. Brincar ao infinito é coisa propícia a falácias, porque o conceito é por definição teórico e não empírico, e certas conclusões que parecem intuitivas não têm sentido, como por exemplo dizer que o conjunto dos números inteiros (que é infinito) é "maior" que o conjunto dos números ímpares (que também é infinito). O que se passa é que ambos têm a mesma "cardinalidade", porque é possível fazer uma "correspondência" (biunívoca) entre cada um dos elementos deles dois. Para entender isto, é essencial alguma familiaridade com algumas das ideias e contribuições de Cantor. Se tiver tempo, e (suficiente) vontade, falarei depois da problemática do infinito.

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Sugiro, a quem tiver interesse nestas coisas, e como excelente introdução, o livro de Bento de Jesus Caraça, o autor da famosa frase «Se não receio o erro, é porque estou sempre disposto a corrigi-lo», Conceitos fundamentais da Matemática. E, claro, os célebres paradoxos de Zenão, para se perceber o poder (falacioso) do infinito e da continuidade. Por exemplo, vejam aqui ou aqui.