aforismos e afins

11 dezembro 2005

Brincando com o infinito (1)

[NOTA: há dois novos parágrafos antes da (nova) terceira conclusão].
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O Luís-Aguiar Conraria propõe-nos um desafio muito interessante como "parábola" sobre redistribuição e a Segurança Social:
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«Imaginem uma fila com um número infinito de crianças. Cada uma tem um chocolate na mão. A primeira criança é a única de mãos vazias. A segunda criança dá um chocolate à primeira, a terceira à segunda, a quarta à terceira, a quinta à quarta e assim sucessivamente. A primeira criança ganhou um chocolate. Todas as outras ficaram com o chocolate que tinham.»
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Há aqui quatro questões "positivas" a ter em conta: 1) a taxa de troca intertemporal entre chocolates, 2) a hipótese de os chocolates "cairem do céu" (e os incentivos que o sistema proposto gera), 3) o problema da interpretação, uso, e adequabilidade do conceito de infinito, e 4) a pirâmide etária subjacente.
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Haverá uma conclusão para cada uma das quatro questões. 1) é, como veremos, irrelevante. 2) e 3) são ambas erros ontológicos. 4) sugere uma desadequação à realidade que se vive hoje.
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Os problemas "normativos", ligados ao direito de impor estas trocas coercivamente, devem, dada a complexidade do problema em si, ser para já deixados de lado. Ou seja, o problema reduz-se para já a pensar se seria "de facto" possível ter o mecanismo que o LA-C propõe, independentemente de isso ser ou não desejável. O André Azevedo Alves levanta uma questão normativa neste post.
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Como veremos adiante, a hipótese crucial que leva à rejeição do argumento proposto é a ideia subjacente de que os chocolates "caem do céu". Há também um uso inadequado do conceito de infinito. Outra hipótese que é algo falaciosa para descrever nos dias de hoje o problema da redistribuição e da Segurança Social, é tu assumires que a troca redistributiva se dá de 1 para 1, isto é, que cada criança paga a e recebe de exactamente uma criança.
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Para facilitar a leitura, pensemos que as crianças estão numeradas como os números inteiros, 1, 2, 3, 4, ...
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O João Miranda começa por pegar no ponto 1), contrapondo:
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«O grande problema da segurança social é que enquanto o chocolate passa de mão em mão há crianças à espera. Qualquer criança prefere comer o chocolate agora a esperar por daqui a 30 segundos. Cada criança acabará por receber um chocolate cujo valor é inferior àquele a que tem direito. Se elas vão ter que ficar à espera do chocolate têm que ser compensadas com mais chocolate.»
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Ao que o Luís Aguiar-Conraria responde:
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«Considere-se o esquema alternativo. A segunda criança dá metade de um chocolate à primeira. A terceira dá dois terços à segunda, a quarta dá quatro quintos à terceira, a quinta dá cinco sextos e assim sucessivamente. A primeira criança recebe meio chocolate pelo que fica a ganhar. A segunda dá metade, mas recebe dois terços. A que lhe dá os dois terços recebe três quartos e assim sucessivamente. Cada uma recebe mais do que aquilo que dá. Com este esquema distributivo cada criança, individualmente considerada, fica com mais chocolate para se consolar.»
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JM refere um problema interessante, mas facilmente ultrapassável por as crianças serem em número infinito. A resposta do LA-C é incorrecta, por um argumento simples de continuidade.
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Para perceber que o que JM aponta - tal como está enunciado - não é problema grande, imaginemos que cada criança só está disposta a trocar 1 chocolate hoje por X > 1 chocolates amanhã. Por exemplo, X = 10. Ora, como estamos a falar de um conjunto infinito de crianças, podemos pensar que as crianças 2-11 darão os seus (10) chocolates à criança 1, as crianças 12-21 darão os seus (10) chocolates à criança 2, e assim sucessivamente. Como há um conjunto infinito de crianças, será sempre possível redistribuir 10 chocolates para cada criança. Mais, isso será verdade para qualquer número finito. Se uma criança exigir 1.000.000 de chocolates, o argumento é exactamente o mesmo.
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[Poder-se-á contrapor que se as crianças não viverem uma vida infinita, eventualmente será impossível redistribuir para números maiores que Ct, em que Ct seria o número de crianças em cada período t. O que interessa é que o tipo de argumento aqui usado não é um desafio verdadeiro ao problema "teórico" do LA-C porque ele se baseia num conjunto infinito.]
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A resposta de LA-C é incorrecta, por um argumento de continuidade. Imaginemos que cada criança exige em troca de um chocolate hoje, (1 + a) chocolates amanhã. Imaginemos que a é um número tão pequeno quanto se queira. A proposta que o LA-C faz é que a criança com número t dará (t - 1) / t chocolates à criança t-1. Por exemplo, a segunda criança dá 1/2 à primeira, a terceira criança dá 2/3 à segunda, etc. Ora, o balanço de cada criança t é que ela dá (t - 1) / t e recebe t / (t + 1). Subtraindo o primeiro termo ao segundo, obtemos o benefício líquido para cada criança t, que é igual a 1 / [ (t+1) t ].
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É aqui que entra o argumento da continuidade. Para qualquer valor de a, por muito pequeno que seja a, haverá sempre um t* tal que para todo o t > t*, a > 1 / [ (t+1) t ]. Por palavras: qualquer que seja o valor a, que é o que cada criança exige adicionalmente para trocar um chocolate hoje por outro amanhã, haverá sempre um conjunto de crianças "suficientemente longínquas" que prefeririam não fazer a troca, porque o benefício líquido que as crianças obteriam, 1 / [ (t+1) t ], seria menor que aquilo que exigem, a. Isto é sempre verdade porque como o conjunto de crianças é infinito, haverá sempre um número t* a partir do qual todas as crianças de número t > t* ficarão piores com a troca.
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Por exemplo, imaginemos que cada criança exigirá 1.1 chocolates amanhã por 1.0 chocolate hoje. Ou seja, a = 1/10. Só troco 100 gramas de chocolate hoje por 110 gramas de chocolate amanhã. Cada criança só aceitará a troca se receber mais do que 1/10 de chocolate amanhã. A criança número 3 será a primeira a ficar insatisfeita, porque dá 2/3 à criança número 2 e recebe 3/4 da criança número 4. Ora, 3/4 menos 2/3 é igual a 1/12, que é menor que 1/10, sendo 1/10 aquilo que cada criança exige. Logo, todas as crianças número t para t > 2 não aceitariam a troca.
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O problema está em que, apesar de cada criança ficar com "mais" chocolate para se consolar, haver sempre crianças para as quais o "consolo" não será suficiente para calar a "birra" que elas fazem.
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A primeira conclusão a tirar daqui é que, por existir um número infinito de crianças, a questão de elas exigirem mais que 1 chocolate para a troca não é um problema, como algumas pessoas afirmaram nos comentários ao post inicial do LA-C.
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O João Miranda depois pega no ponto mais importante - 2), que é a ideia dos chocolates "cairem do céu":
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«Este esquema: Considere-se o esquema alternativo. A segunda criança dá metade de um chocolate à primeira. A terceira dá dois terços à segunda, a quarta dá quatro quintos à terceira, a quinta dá cinco sextos e assim sucessivamente. A primeira criança recebe meio chocolate pelo que fica a ganhar. A segunda dá metade, mas recebe dois terços. A que lhe dá os dois terços recebe três quartos e assim sucessivamente. Cada uma recebe mais do que aquilo que dá. Com este esquema distributivo cada criança, individualmente considerada, fica com mais chocolate para se consolar. tem um pequeno problema. Não se percebe de onde vem o chocolate. Como é que cada geração consegue produzir cada vez mais chocolate para alimentar a velhice da anterior se não há poupança?»
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A questão crucial tem mesmo a ver com a hipótese de os chocolates "caírem do céu". Esta visão quase recorda um pouco da teoria comunista, que pretendendo distribuir a riqueza igualmente, "esqueceu-se" de perceber que isso mudava os incentivos, e no fim todos acabavam iguais, sim... mas em extrema pobreza. A hipótese de que há chocolates "a priori" não faz sentido na economia, porque as coisas têm que ser produzidas. Além disso, a hipótese de que a troca inter-geracional não provocaria alterações na economia também me parece desadequada. Até a escolha de ter filhos seria influcenciada por um tal mecanismo redistributivo, por exemplo. E mesmo que consideremos que os chocolates são produzidos e não caídos do céu, seria ingénuo pensar que um qualquer sistema de redistribuição não afectaria os incentivos à produção.
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A segunda conclusão é que não podemos achar que o BOLO que há para distribuir "cai do céu". Se bem me lembro, o Nozick aponta isto no seu "Anarchy, State, and Utopia". Por outras palavras, a "parábola" aplicada à economia sofre dum erro ontológico, por considerar certas coisas como "dadas" no mundo (bem) real da economia.
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Podemos, se quisermos manter o entretenimento cerebral, substituir os chocolates por "braços", que são (salvo deficiência) algo que qualquer criança teria sempre para a troca. Assim, poderíamos por a questão teórica de saber se poderíamos cortar os braços a crianças futuras de forma redistributiva. Mas fazer a analogia com a economia é muito perigoso, porque as coisas não podem ser tidas como dadas, como se viessem do nada.
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Logo, o comentário do LA-C, Nestes posts demonstrei que a função distributiva do estado não tem de ser um jogo de soma nula (ou até mesmo negativa) como defendem muitos liberais. Esta questão é um problema eminentemente económico. Nos próximos posts tentarei enriquecer a análise, não é aceitável, porque é ontologicamente errado. Diria que o teu "demonstrei" é excessivo para um post apelidado de "laracha", mas ok. A contradição seguinte é que é importante. É que é exactamente por ser um problema "económico" e não "abstracto" que a tua analogia é falaciosa, porque as coisas não "caem do céu". Na minha opinião, caro LA-C, acho que seria melhor esquecer esta laracha enquanto analogia e ponto de partida para um debate sério sobre redistribuição e propostas para uma Segurança Social. Como quizz ou (literal) laracha, tudo bem.
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Quanto ao problema do infinito em si, há a questão de que um dia a vida na Terra acabará. Será isto muito relevante? SIM.
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Os dois parágrafos que se seguem são NOVOS.
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Repara que muitas vezes os economistas usam o "infinito" para simplificar a questão colocada em termos de tractability. Seja porque lhes permite usar a Lei dos Grandes Números, ou fazer uma optimização dinâmica mais simples, eles não mudam a natureza do problema. Ora neste caso isso é o que de facto acontece. Porque o teu resultado - a tua intuição - cai pela base se assumirmos que a sequência não é, por muito longa que seja, infinita. Trata-se da questão (ver o livro recomendado abaixo de BJC) da passagem ao infinito constituir ou não uma alteração qualitativa ou meramente quantitativa. Isto tem a ver com a noção matemática de limite.
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Por exemplo, a LGN só se verifica no limite, mas a essência do seu resultado não depende disso. Porque vai havendo convergência. Mas no teu caso é a essência que está em causa. Porque o problema cai pela base se não houver infinito. Esse salto qualitativo é um problema grave, ao contrário do que eu escrevi inicialmente. Se a hipótese de que os chocolates "caem do céu" não é realista num contexto económico, o uso desadequado do infinito" permite o "truque" de conseguir um resultado de soma não nula, mas que não é válido porque esse "salto qualitativo" não é realista. Não se pode "passar ao limite" neste caso, porque as coisas se tornam qualitativamente diferentes.
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A terceira conclusão é que a hipótese do "infinito" é, strictu sensu, inadequada. É ela que dá uma natureza diferente ao problema, e esse salto qualitativo é neste caso falacioso, porque irrealista. Ela não aparece como forma de simplificação analítica, mas antes origina o resultado sugerido.
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Há ainda outra crítica que tem a ver com a estrutura etária da população. Repara que a tua "metáfora" equivale a assumir que em cada período o número de pessoas é o mesmo. Ora, nós sabemos que esse é um dos problemas "reais" da nossa economia. Tu terias que considerar não um problema em que há 1 criança por período, mas onde o número de crianças é decrescente.
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A quarta conclusão é que isto altera radicalmente o teu resultado, porque no futuro haveria recursos decrescentes, o que decorreria da evolução "negativa" da natalidade e pirâmide etária.
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Por exemplo, assumamos que o número de crianças em cada período é de 1000/t. Há 1000 crianças, depois 500, depois 250, e por aí fora. Ora, todos sabemos que a soma de 500, 250, 125, 62.5, ..., é..., pois, 1000. Ou seja, para dar 1 chocolate às 1000 crianças iniciais, terias que retirar TODOS os chocolates futuros, até ao infinito. É este um exemplo extremo? É. Ilustra ele de forma nao falaciosa o problema da pirâmide geracional invertida num sistema pay-as-you-go como o português? Sim. A tua hipótese de haver "uma" criança a redistribuir para "uma" criança ignora aquele que é o problema ("positivo") fulcral nos sistemas de segurança social em pré-falência que abundam por essa Europa fora.
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Quanto à questão teórica do "infinito", ela é muito interessante, e haveria mais comentários a fazer, em resposta a outros que se deram na caixa dos comentários. Brincar ao infinito é coisa propícia a falácias, porque o conceito é por definição teórico e não empírico, e certas conclusões que parecem intuitivas não têm sentido, como por exemplo dizer que o conjunto dos números inteiros (que é infinito) é "maior" que o conjunto dos números ímpares (que também é infinito). O que se passa é que ambos têm a mesma "cardinalidade", porque é possível fazer uma "correspondência" (biunívoca) entre cada um dos elementos deles dois. Para entender isto, é essencial alguma familiaridade com algumas das ideias e contribuições de Cantor. Se tiver tempo, e (suficiente) vontade, falarei depois da problemática do infinito.
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Sugiro, a quem tiver interesse nestas coisas, e como excelente introdução, o livro de Bento de Jesus Caraça, o autor da famosa frase «Se não receio o erro, é porque estou sempre disposto a corrigi-lo», Conceitos fundamentais da Matemática. E, claro, os célebres paradoxos de Zenão, para se perceber o poder (falacioso) do infinito e da continuidade. Por exemplo, vejam aqui ou aqui.

54 Comments:

  • Há duas questões principais, penso eu. Primeiro a possibilidade de todas as crianças ficarem melhor. Em segundo a questão de os chocolates caírem do céu, como o maná. A Segunda questão ficará para futuros posts. Pelo que me debruço apenas sobre a primeira.

    O esquema que tu construíste de uma criança receber chocolates de várias, pelo que cada criança pode inclusivamente exigir 10 000 chocolates viola uma ideia implícita no post. Esta ideia da fila indiana era para mimetizar um modelo de gerações sobrepostas. Assim não gosta da solução da criança 1 ir buscar chocolates à criança 12, pois não é possível que os nossos pais vejam as reformas fianciadas pelos chocolates dos seus tetranetos. Por isso falei de um esquema em que a 1 recebe da 2, a 2 da 3, a 3 da 4 e por aí fora.

    Falas então da continuidade para dizer que o meu argumento é inválido. Repara que não desmentes o essencial do que digo, que é que é possível todas as crianças consumirem mais chocolate. O que fazes é introduzir uma taxa de preferência temporal dada por (1+a) demonstrando de seguida que é a partir de um determinado momento o chocolate extra não compensa o atraso no consumo. Podes generalizar o modelo noutra direcção para contornar isto, que é assumir uma função de utilidade côncava pelo que há consumption smoothing ao longo do tempo e introduzir uma nova dimensão temporal: as crianças encontram-se de manhã e à noite, mas enquanto umas recebem o chocolate de manhã outras recebem-no à tarde.

    Aqui o esquema de fila indiano tem de ser modificado. A criança 1 encontra-se de manhã com a 2, a 2 encontra-se de tarde com a 3, a 3 encontra-se na manhã seguinte com a 4 e assim sucessivamente. Facilmente se conclui que torna a haver margem para “Pareto improvement” com este tipo de esquema redistributivo.

    “Diria que o teu "demonstrei" é excessivo”
    Penso que não estás a ter em conta a modéstia do que eu disse que demonstrei. Para demonstrar que algo n~ao tem de ser de uma determinada fora apenas se tem de dar um contra-exemplo. Por muito irrealista que ele seja, e é, foi dado. E como a relação que eu encontrei foi estrita, usando o argumento da continuidade, quaisquer gr`aos de areia que ponhas na engrenagem não alterarão os resuiltados desde que suficientemente pequenos, pelo que não alteram o que eu digo ter conseguido demonstrar.

    A questão da estrurura etária ficará para depois.

    By Anonymous la-c, at 12:14 da manhã  

  • "Há duas questões principais, penso eu. Primeiro a possibilidade de todas as crianças ficarem melhor. Em segundo a questão de os chocolates caírem do céu, como o maná. A Segunda questão ficará para futuros posts. Pelo que me debruço apenas sobre a primeira."

    A mim parece-me que uma pessoa que se debruçe sobre estes assuntos, deveria por a questão do OUTRO lado, isto é, perguntar como é que seria possível que sem qualquer alteração substantiva no processo produtivo, TODOS fiquem melhor. Repara que não estamos a falar de argumentos de partilha de risco ou vantagens comparativas, ou outros do género. Falamos simplesmente da realocação temporal de chocolates que são tidos como dados.

    Mais, acho que o meu exemplo de que até poderias dar 10.000 ou 1.000.000 de chocolates a cada criança deveria alertar ainda mais para que algo neste argumento, ou melhor, nesta sugestão, deverá estar errada. Acho que invertes, certamente sem intenção, o ónus da prova, e isso enviesa a discussão logo de início. O problema está relacioando com as intuições sobre o "infinito" (falo disto mais abaixo ou depois).

    Acho também que, ainda que digas que a 2ª questão fica para depois, ela não pode ser dissociada da questão número 1, pelo menos não completameente, já que o problema de ser "surreal" que cada criança possa, com base em 1 chocolate, na realidade passar para 10.000 - REPITO: NA VIDA REAL - é algo de desconfiar para qualquer economista.

    "Falas então da continuidade para dizer que o meu argumento é inválido."

    O meu exemplo serve apenas para referir que a resposta que dás à pergunta do João Miranda (ela própria algo mal posta) não é correcta. Há também o benefício adicional de explicar a intuição relacionada com o problema do infinito e continuidade.

    "Repara que não desmentes o essencial do que digo, que é que é possível todas as crianças consumirem mais chocolate."

    COmo refiro acima, isso tem a ver com o problema ontológico do "mana from heaven". A abstracção teórica do infinito é muito perigosa aqui.

    "O esquema que tu construíste de uma criança receber chocolates de várias, pelo que cada criança pode inclusivamente exigir 10 000 chocolates viola uma ideia implícita no post. Esta ideia da fila indiana era para mimetizar um modelo de gerações sobrepostas. Assim não gosta da solução da criança 1 ir buscar chocolates à criança 12, pois não é possível que os nossos pais vejam as reformas fianciadas pelos chocolates dos seus tetranetos. Por isso falei de um esquema em que a 1 recebe da 2, a 2 da 3, a 3 da 4 e por aí fora."

    O meu exemplo era para apurar a intuição sobre o problema, sobretudo. Repara que a hipótese de gerações sobrepostas também é incorrecta se a pirânmide populacional se alterar. Esse é outro erro que eu aponto.

    "O que fazes é introduzir uma taxa de preferência temporal dada por (1+a) demonstrando de seguida que é a partir de um determinado momento o chocolate extra não compensa o atraso no consumo. Podes generalizar o modelo noutra direcção para contornar isto, que é assumir uma função de utilidade côncava pelo que há consumption smoothing ao longo do tempo e introduzir uma nova dimensão temporal: as crianças encontram-se de manhã e à noite, mas enquanto umas recebem o chocolate de manhã outras recebem-no à tarde."

    Como explico acima, o meu ponto era alertar para que a tua resposta ao JM estava incorrecta, o que nem o JM nem qualquer dos comentadores a esse post tinha feito. E também trazer mais intuição ao problema. Nada mais que isso.

    "“Diria que o teu "demonstrei" é excessivo” Penso que não estás a ter em conta a modéstia do que eu disse que demonstrei. Para demonstrar que algo n~ao tem de ser de uma determinada fora apenas se tem de dar um contra-exemplo. Por muito irrealista que ele seja, e é, foi dado. E como a relação que eu encontrei foi estrita, usando o argumento da continuidade, quaisquer gr`aos de areia que ponhas na engrenagem não alterarão os resuiltados desde que suficientemente pequenos, pelo que não alteram o que eu digo ter conseguido demonstrar."

    Mas, caro, o ponto do meu post todo é negar que o teu "exemplo" tenha algum sentido como aplicação ao mundo real da economia. QUanto à questão abstracta, e para não complicar as coisas, deixaria isso para depois. Repara também que tu próprio te contradizes um pouco, ao propores (não so com humildade, mas com imaginação) a história da "laracha". Só apontei que o "demonstrei" era excessivo, porque de facto o teu exemplo quanto a mim não é válido.

    "A questão da estrurura etária ficará para depois."

    Ok. Esse ponto é subalterno, no entanto, dado que apenas AGRAVA o problema crucial que é tu achares que há "mana from heaven".

    By Blogger Tiago Mendes, at 12:42 da manhã  

  • Concordo com o que diz o LAC relativamente ao primeiro argumento que usas uma vez que aí, de facto violas as leis do jogo. Matematicamente poderá sempre arranjar-se uma forma de o sistema funcionar.
    As questões aqui são de outra ordem. Primeiro, o facto de os chocolates não caírem do céu, pelo que aguardarei pelo próximo post do LAC. Segundo, como escrevo aqui, o facto de a passagem do chocolate não ser feita directamente pelas crianças. Aliás, a ideia de que pode ser feita directamente pelas crianças é uma ideia muito liberal :)

    By Blogger CGP, at 12:43 da manhã  

  • "Concordo com o que diz o LAC relativamente ao primeiro argumento que usas uma vez que aí, de facto violas as leis do jogo. Matematicamente poderá sempre arranjar-se uma forma de o sistema funcionar."

    Não diria tanto. De qualquer modo, falamos de aplicação ao mundo real. A parábola é engraçada mas muito perigosa por isso mesmo.

    "Segundo, como escrevo aqui, o facto de a passagem do chocolate não ser feita directamente pelas crianças."

    Isto é o meu ponto 2), relacionado com os incentivos e distorções que estão inerentes ao facto de os chocolates não serem mana from heaven.

    By Blogger Tiago Mendes, at 12:50 da manhã  

  • A respeito do número de crianças ser decrescente, é só ir regularmente buscar mais umas quantas aos infantários vizinhos (aonde o númemero é crescente e estão a rebentar pelas custoras)

    By Blogger Miguel Madeira, at 9:40 da manhã  

  • "Porque o teu resultado - a tua intuição - cai pela base se assumirmos que a sequência não é, por muito longa que seja, infinita."

    Tiago. Parece-me que te estás a dedicar a alterar os dados do problema que eu coloco, para concluires que as minhas conclusões estão erradas. Ora se tu alteras os dados do problema tens de aceitar que eu também altere.

    Começaste por introduzir a questão das preferências inter-temporais, dizendo que os agentes preferem consumir no presente a consumir no futuro. Acrescentaste uma taxa de preferência inter-temporal (que se deriva do teu factor 1+a), para usares um argumento de continuidade para invalidar a meu segundo esquema. Ora, podias na mesma acrescentar a questão das preferências inter-temporais usando, por exemplo preferências lexicográficas, em que a criança olhava primeiro para a quantidade e depois para o tempo. Ai a tua demonstração tornava-se irrelevante, ou então não gostanto de preferências não contínuas, podes acrescentar um outro período e graças a preferências convexas e ao consequente "consumption smoothing" introduzes uma nova dimensão que abre espaço para re-distribuições em qyue toda a gente beneficia.

    Acrescentaste de seguida a questão do maná caído do céu. Dizes que é um pressuposto irrealista. Se quiseres introduzir uma função produção linear no trabalho, terás os mesmos resultados. Se queres mais do que isto, terás de esperar pelos próximos posts.

    Agora falas na questão do infinito que na realidade não é infinito. Tens razão. Por argumentos de backward induction é fácil demonstrar que este esquema distributivo não é possível, porque a última geração se vai recusar, e portanto a penúltima também, de seguida a antepenultimo e por aí fora até chegarmos a hoje. Mas se assumires que não se sabe quando vai ser o fim do mundo, e apenas falas em probabilidade de o fim do mundo ser amanhã, deixa de ser possível usar o argumento de backward induction, pelo que o raciocínio torna a ser válido.

    Bem sei que estou a alterar os dados do problema, mas tu fizeste o mesmo.

    Se o objectivo do teu post era dizer que o meu gadro de análise era irrealista, dar-me-ás o crédito de considerar que não me estás a dar novidade nenhuma.

    Em próximos posts continuarei a análise (ao meu ritmo, não esperes que num post eu introduza todas as variáveis e factores que considero relevantes)

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 12:01 da tarde  

  • Eu não alterei dados nenhuns, caro. Referi a questão da preferência intertemporal APENAS para dar resposta ao post do JM e a tua réplica, apontando que ela não estava correcta mas que esse problema NAO existe na TUA FORMULACAO ORIGINAL. Aliás, digo logo à cabeça que o "Ponto" 1) será IRRELEVANTE.

    E repito isso explicitamente no primeira conclusão. Já disse e repeti que apenas o fiz para ajudar a apurar intuição sobre o problema complexo do infinito. O segundo parágrado do teu comentário náo tem, perdoa-me, qualquer sentido, e desvia a questão, ainda que não intencionalmente. NAO SAO as prefencias intertemporais que estão em causa.

    ""Porque o teu resultado - a tua intuição - cai pela base se assumirmos que a sequência não é, por muito longa que seja, infinita." Tiago. Parece-me que te estás a dedicar a alterar os dados do problema que eu coloco, para concluires que as minhas conclusões estão erradas. "

    Eu não alterei nada. Apenas sugeri - por argumento indutivo e intuitivo - que o teu argumento cai por base se não houver infinito. Mais, ilustro com exemplos aonde NOS PODERIA levar a tua hipótese do infinito. Isto serve apenas para SUGERIR que deverá haver alguma coisa na tua laracha que náo faz sentido, pelo menos no MUNDO REAL.

    Eu não mudei nada, caro. Eu aceito a tua hipótese do infinito. Apenas tentei ilustrar que ela leva a CONCLUSOES que deveriam deixar qualquer economista senão de cabelos em pé, pelo menos muito admirado. É isto que me surpreende e é por isso que eu falo numa espécie de "inversão de ónus da prova", porque acho que não demonstras espírito crítico suficiente nessa hipótese.

    Por exemplo, também os paradoxos de Zenão parecem totalmente nonsense nos seus resultados, embora no seu enunciado seja difícil de perceber O QUE PODERA estar errado. O que eu fiz foi uma coisa semelhante. Sugerir que o teu enunciado, ainda que não de forma óbvia, PODERÁ conter alguma coisa não óbvia que permite conclusão tão supreendentes.

    "Acrescentaste de seguida a questão do maná caído do céu. Dizes que é um pressuposto irrealista. Se quiseres introduzir uma função produção linear no trabalho, terás os mesmos resultados. Se queres mais do que isto, terás de esperar pelos próximos posts."

    Vou aguardar, então. Não te esqueças de considerar que a tua eventual política redistributiva ALTERA os incentivos individuais à produção do que quer que seja. Assumir que a produção é feita NUMA DETEMRINADA quantidade por TODAS as pessoas é efectivamente o mesmo que "mana from heaven" e é irrealista. Aliás, como sugeri, isso é a causa primeira da incompreensão de tantos economistas marxistas do porquê do comunismo falhar enquanto sistema económico no mundo não perfeito onde as pessoas reagem a INCENTIVOS e têm um gostinho especial, entre outras coisas, por free-riding.

    "Agora falas na questão do infinito que na realidade não é infinito. Tens razão. Por argumentos de backward induction é fácil demonstrar que este esquema distributivo não é possível, porque a última geração se vai recusar, e portanto a penúltima também, de seguida a antepenultimo e por aí fora até chegarmos a hoje."

    Não. O problema do infinito NAO é como tu o poes. Se o numero de períodos for infinito, NAO podes usar esse tipo de argumento. Isso é que é falacioso. O tipo de argumento usado para infinitos tem a ver com a replicação do mesmo processo em perídos diferentes (tipo Bellman equation). O problema é que a hipótese de infinito é MUITO FORTE, e sem ela, cai por base. E nós não viveremos infinitamente (a humanidade, quero dizer).

    "Mas se assumires que não se sabe quando vai ser o fim do mundo, e apenas falas em probabilidade de o fim do mundo ser amanhã, deixa de ser possível usar o argumento de backward induction, pelo que o raciocínio torna a ser válido."

    Não. Assumir que um processo pode acabar com probabilidade X no período seguinte é o formalmente o MESMO que assumir que há um processo infinito com uma determinada taxa intertemporal de preferências (dependendo de X). O argumento de backward induction já nao era possível antes, e aqui continua a náo se-lo, MAS NAO pelas razóes que tu sugeres.

    "Bem sei que estou a alterar os dados do problema, mas tu fizeste o mesmo."

    De facto, estás a alterá-los, mas a cometer erros em cada uma dessas alterações, quer-me parecer. E volto a repeptir que eu náo alterei dados nenhuns do teu problema. Apenas referi que:

    1. Mana from heaven não faz sentido como APLICACAO ao mundo real da economia. Como charada teórica, ok. Mas então deixemos de tentar aplicar isso.

    2. A hipótese de infinito é irrealista porque o mundo vai acabar, mesmo que seja só daqui a 5 mil milhóes de anos, ou seja o que for. O problema é que desde que náo seja infinito, o argumento cai por base, independentemente do horizonte ser muito longínquo, porque o "salto qualitativo" tira o poder do resultado.

    3. A questão da pirâmide etária é também séria.

    Mas vamos a ver se prioritizamos.

    Só é preciso 1 argumento para deitar abaixo a tua laracha enquanto aplicação ao mundo real. ESSE ARGUMENTO É O DO MANA FROM HEAVEN. Deixo sem problemas o ponto 3 (da pirâmnide etária) de lado. E mesmo o ponto do infinito pode ficar de parte, porque é uma questão teórica mais complexa e que pode gerar confusão desnecssária.

    "Se o objectivo do teu post era dizer que o meu gadro de análise era irrealista, dar-me-ás o crédito de considerar que não me estás a dar novidade nenhuma."

    Os objectivos do meu post eram apontar erros e falácias, numa questão muito importante onde há 2 erros ontológicos de monta, e que podem confundir os leitores. COmo não vi críticas nos teus posts, nem sequer do JM nem do AA, achei por bem dissecar o problema tanto quanto pude.

    Mas deixa que me diga que ainda não vi nos teus posts nem nos teus comentários o STATEMENTE claro de que o teu modelo é irrealista. Vi-te sempre responder ao JM e a mim com uma crença grande de que o teu modelo é adequado. Repara que o problema de ser realista não está na ideia de haver gerações sobrepostas, etc. É irrealista por uma razão ONTOLOGICA, que tem a ver com a impossibilidade do "mana from heaven".

    By Blogger Tiago Mendes, at 12:43 da tarde  

  • Já agora, se não houver infinito, não é só a metáfora do LA-C que cai por terra, é a prória espécia humana.

    By Blogger Miguel Madeira, at 12:56 da tarde  

  • Tiago, vais-me desculpar a arrogância, mas o argumento de O argumento de "backward induction" é válido se o número de períodos é finito. E se dizes que não, então agradeço que me digas quando é que é válido!

    E nessa situação de vida terrestre finita, introduzindo a incerteza quanto ao momento do fim do mundo, vou novamente parar a um sistema que é formalmente equivalente ao infinito, pelo que os resultados descritos anteriormente se mantêm.

    "Não te esqueças de considerar que a tua eventual política redistributiva ALTERA os incentivos individuais à produção do que quer que seja."

    Mas agora estás-me a ensinar introdução à economia?

    Repsondedo aos 3 pontos:

    "1. Mana from heaven não faz sentido como APLICACAO ao mundo real da economia. Como charada teórica, ok. Mas então deixemos de tentar aplicar isso."

    Lamento, mas aplico se me apetecer. Agradeço a tua sugestão e penso que a deverás dar a Arrow, Paul Samuelson, Karl Shell, Neil Wallace, Thomas Sargent e por aí fora. Eu vejo tal charada como útil precisamente porque é irrealista.

    "2. A hipótese de infinito é irrealista porque o mundo vai acabar, mesmo que seja só daqui a 5 mil milhóes de anos, ou seja o que for. O problema é que desde que náo seja infinito, o argumento cai por base, independentemente do horizonte ser muito longínquo, porque o "salto qualitativo" tira o poder do resultado."

    Já respondi a este ponto.

    "3. A questão da pirâmide etária é também séria."

    Pois é.

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 1:56 da tarde  

  • "E nessa situação de vida terrestre finita, introduzindo a incerteza quanto ao momento do fim do mundo, vou novamente parar a um sistema que é formalmente equivalente ao infinito, pelo que os resultados descritos anteriormente se mantêm."

    Ou seja, sendo formalmente equivalente ao problema com horizonte temporal infinito, não se pode aplicar o argumento de backward induction.

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 1:57 da tarde  

  • "Já agora, se não houver infinito, não é só a metáfora do LA-C que cai por terra, é a prória espécia humana."

    Com certeza. Mas a "veracidade" dessa hipotese nao pode depender das consequencias serem mais ou menos agradaveis para nos. Ou seja, ou bem que pode haver vida "para sempre", ou nao. E' uma questao cientifica, e nao uma questao daquilo que gostariamos que fosse.

    By Blogger Tiago Mendes, at 2:42 da tarde  

  • "Tiago, vais-me desculpar a arrogância, mas o argumento de O argumento de "backward induction" é válido se o número de períodos é finito. E se dizes que não, então agradeço que me digas quando é que é válido!"

    Ele de facto e' valido para um conjunto finito. O problema esta' na tua confusao com o conceito de infinito. Tu dizes:

    "Agora falas na questão do infinito que na realidade não é infinito. Tens razão. Por argumentos de backward induction é fácil demonstrar que este esquema distributivo não é possível, porque a última geração se vai recusar, e portanto a penúltima também, de seguida a antepenultimo e por aí fora até chegarmos a hoje."

    Ora, um conjunto infinito nao tem um "ultimo" elemento. Esse e' o problema. Claro que se o cunjunto for finito, o argumento de backmwards induction aplica-se. Alias, esse e' o problema do dilema de prisioneiros repetido finitas vezes em que o resultado e' que em cada momento de joga a estrategica dominante.

    O problema quando passamos ao infinito e' que este argumento NAO PODE ser usado, porque nao ha' ULTIMO periodo. Alias, e' por isso que e' possivel num jogo infinito ultrapassas a inevitabilidade do equilibrio no jogo de dilema de prisioneiros. Isto e' um exemplo em que A PASSAGEM AO INFINITO altera QUALITATIVAMENTe as conclusoes, porque a NATUREZA do problema se altera.

    Tudo se joga no problema de "passagem ao limite". Falarei disto noutro post.

    "E nessa situação de vida terrestre finita, introduzindo a incerteza quanto ao momento do fim do mundo, vou novamente parar a um sistema que é formalmente equivalente ao infinito, pelo que os resultados descritos anteriormente se mantêm."

    A ideia que tens e' correcta mas esta' mal formulada, porque nao podes dizer que ela e' finita e depois dizer que e' infinita. A formulacao correcta e': A vida pode terminar em qualquer periodo com probabilidade X. Logo, nao e' licito que a vida seja infinita, dado que pode acabar em qualquer periodo. No entanto, esta formulacao e' FORMALMENTE identica 'aquela que usa o infinito. E isso faz com que o argumento de backwards induciton tambem NAO SEJA utilizavel. O problema esta' em assumires que a vida e' finitia, quando na realidade ha' uma probabilidade (infinitesimal, mas ha') que ela CONTINUE apos cada periodo.

    "Eu vejo tal charada como útil precisamente porque é irrealista."

    Ha' irrealismos e irrealismos. Eu percebo o que queres dizer, mas sinceramente acho que o caminho e' demasiado surreal para poder dar algum contributo real para estas questoes.

    By Blogger Tiago Mendes, at 2:53 da tarde  

  • O que me intriga honestamente e' achar-se que do nada se pode criar algo, por mera realocacao entre pessoas. Imagina que o numero de pessoas e' tao grande quanto os numero de graos de areia na Terra ou o numero de atomos no espaco. O teu argumento cairia, porque eles sao, ainda que gigantescamente grandes, finitos.

    A tua hipotese do infinito muda QUALITATIVAMENTE a analise e e' feita de forma que julgo leviana. Se bem que o infinito seja usado largamente na economia, ele e' usado sobretudo para tornar certos resultados mais faceis de obter, ainda que a maioria deles NAO mude na sua natureza. Um exemplo que muda e' o dilema de prisioneiros repetido indefinidamente.

    Temos que considerar o conceito matrematico de "infinito", que e' teorico, abstracto, e o conceito que se usa muitas vezes na Fisica, que nao e' teorico. Ja' o infinito que os economistas usam carece de apreciacoes filosoficas que necessitam ser feitas, e isso leva a abusos em muitas situacoes, como creio ser o caso.

    De resto, o problema do infinito encanta matematicos e filosofos ha' centenas de anos, e e' uma pena que numa disciplina que usa o infinito com tanto 'a vontade, nao haja um minimo de reflexao sobre a natureza deste conceito e os erros em que se podem incorrer ao aplica-lo (mais ou menos indiscriminadamente) ao mundo real, onde poucas coisas, if any, poderao ser consideradas "infinitas".

    O infinito de que tu falas e' teorico, matematico. Como o numero de pontos numa recta. Nao e' do mesmo tipo que o numero de atomos numa sala. A ver se escrevo algo sobre isso mais tarde.

    By Blogger Tiago Mendes, at 3:21 da tarde  

  • Mas onde é que eu disse que se aplicava o backward induction a uma situação com horizinte temporal infinito?

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 4:20 da tarde  

  • A ideia que tens e' correcta mas esta' mal formulada, porque nao podes dizer que ela e' finita e depois dizer que e' infinita. A formulacao correcta e': A vida pode terminar em qualquer periodo com probabilidade X. Logo, nao e' licito que a vida seja infinita, dado que pode acabar em qualquer periodo. No entanto, esta formulacao e' FORMALMENTE identica 'aquela que usa o infinito. E isso faz com que o argumento de backwards induciton tambem NAO SEJA utilizavel. O problema esta' em assumires que a vida e' finitia, quando na realidade ha' uma probabilidade (infinitesimal, mas ha') que ela CONTINUE apos cada periodo."

    Pela lei dos grandes números o mundo há-de acabar em tempo pelo que posso dizer que é mesmo finito, e depois, pelos argumentos que tu próprio já aceitaste, usar as técnicas matemáticas que são aplicáveis ao infinito

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 4:23 da tarde  

  • "O que me intriga honestamente e' achar-se que do nada se pode criar algo, por mera realocacao entre pessoas. Imagina que o numero de pessoas e' tao grande quanto os numero de graos de areia na Terra ou o numero de atomos no espaco. O teu argumento cairia, porque eles sao, ainda que gigantescamente grandes, finitos."

    Tu próprio disseste que o argumento não caía mesmo que considerasse o tempo finito, desde que introduzisse uma probabilidade de ele acabar a cada momento. Não tenho culpa de que não gostes das conclusões.

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 4:26 da tarde  

  • "Mas onde é que eu disse que se aplicava o backward induction a uma situação com horizinte temporal infinito?"

    Fui la' acima ao teu segundo comentario, e de facto tu nao o dizes. Peco desculpa pela confusao. E' que como tu referes "é fácil demonstrar que este esquema distributivo não é possível", isso induz confusao, porque eu julguei que te referias ao TEU modelo e nao 'a minha critica. Ou seja, em vez do "e'" seria mais adequado ter um "seria", dado que falamos do modelo hipotetico que se seguiria 'a minha critica. No final da citacao, referes que se o horizonte for infinito, o raciocinio nao e' valido, logo, eu baralhei-me acerca dos modelos a que te estarias a referir, se o meu, se o teu. Aqui fica a citacao:


    "Agora falas na questão do infinito que na realidade não é infinito. Tens razão. Por argumentos de backward induction é fácil demonstrar que este esquema distributivo não é possível, porque a última geração se vai recusar, e portanto a penúltima também, de seguida a antepenultimo e por aí fora até chegarmos a hoje. Mas se assumires que não se sabe quando vai ser o fim do mundo, e apenas falas em probabilidade de o fim do mundo ser amanhã, deixa de ser possível usar o argumento de backward induction, pelo que o raciocínio torna a ser válido."

    By Blogger Tiago Mendes, at 4:27 da tarde  

  • "Pela lei dos grandes números o mundo há-de acabar em tempo pelo que posso dizer que é mesmo finito, e depois, pelos argumentos que tu próprio já aceitaste, usar as técnicas matemáticas que são aplicáveis ao infinito"

    Nao percebo honestamente a referencia que fazes 'a LGN. Alem de que pareces corroborar a ideia de que o tmepo pode ser finito e infinito ao mesmo tempo. Juro que nao compreendi o que queres dizer.

    By Blogger Tiago Mendes, at 4:29 da tarde  

  • Supõe que em cada período existe a 50% de hipóteses de acontecer algo. Se o número de períodos se estender indefinidamente, terás que a média convergirá para 50%. Isto é, de forma muito grosseira, a LGN.
    Supõe que em cada dia existe uma probabilidade estritamente positiva de o mundo acabar, a%, com a>0. À medida que os dias passam (com a amostra a crescer indefinidamente) em a% das vezes o mundo "acaba". Tal implica que terá mesmo de acabar (só à primeira, naturalmente).

    Basicamente, se pensares em processos de Markov, por muito baixa que seja a probabilidade de se mudar de um regime para outro, será uma questão de tempo até que a mudança ocorra de facto. A demonstração de tal é baseada na LGN.

    Neste caso passa-se o mesmo. o regime é a humanidade existir. o regime alternativo é desaparecermos

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 4:39 da tarde  

  • "Tu próprio disseste que o argumento não caía mesmo que considerasse o tempo finito, desde que introduzisse uma probabilidade de ele acabar a cada momento."

    Repara que eu disse que nao faz sentido falar de "finito" e "infinito" ao mesmo tempo. O que eu disse e' que pode haver uma probabilidade de o jogo (ou a vida) acabar em qualquer periodo. Isso faz com que seja possivel que a vida seja finita OU infinita, ainda que o infinito tenha probabilidade infinitesimal. Agora nao pode e' ser as duas coisas.

    Eu disse de facto que o argumento se manteria com uma probabilidade estritamente positiva de continuar porque isso faz com que ela POSSA SER infinita, e em termos formais o tratamentos e' identico. Mas nunca disse que era finita. ACrescento tambem que na vida real isto teria implicacoes fortes. Uma coisa e' ter a CERTEZA que ha iunfinito, outra e' ter a POSSIBILIDADE de haver infinito. Teriamos que acrescentar risco e incerteza, atitutdes perante isso, e perceber se o modelo muda ou nao. Quanto a mim, e' obvio que mudaria, porque tu nao terias a certeza que haveria uma crianca no futuro para te dar o chocolate. Logo, ainda que o modelo "formal" seja identico, temos que considerar aquilo a que ele se aplica, e aqui seria proavel que concluissemos que um modelo onde o infinito e' apenas provavel mas nao garantido traria resultados dierentes.

    E seria, de resto, um desafio adicional 'a tua laracha. Ou seja, para ter claras as coisas: se houver uma probabilidade em cada periodo de terminar a vida, e dado que falamos de pessoas com atitudes face ao risco e preferencias intertemporais, o resulado seria ainda mais dificil de manter.

    Por exemplo, alguem que tivesse uma aversao ao risco INFINITA (funcao maxi-min) nao estaria disposto a trocar 1 chocolate hoje por qualquer numero de chocolates amanha, sabedno que a probabilidade de os receber amanha e' estritamente menor do que 1.

    "Não tenho culpa de que não gostes das conclusões."

    Como explico anteriormente, as conclusoes nao se alteraram. Se houver uma probabilidade de o jogo acabar, ha' uma equivalencia formal mas apenas se os agentes MAXIMIZAREM A UTILIDADE ESPERADA, o que e' uma hipotese muito forte.

    Isso implica que eles satisfacam o INDEPENDENCE AXIOM de SAvage, o que nao e' (apesar de alguns ainda resistirem a essa hipotese monolitica) uma restricao de "racionalidade". DEsde Allais e Ellsberg, passando por Tversky, Bell, Fellner, ShermanKahenman, Machina, Schmeidler, Malinvaud, Bell, Fishburn, Gul, Slovic, GIlboa, Ghirardhato, Mukerji - so para nomear alguns - que essa hipotese e' posta em causa.

    Ou seja, e para nao restarem duvidas: a equivalencia acontece dentro das hipoteses mainstream da Teoria dos Jogos, que assume o Independence Axiom, que e' o que permite dizer que os agentes maximizam a utilidade esperada. Se isto nao se verificar, o resultado nao e' equivalente. Nao queria levar a discussao para ai, porque ja' estamos a fugir um pouco 'as questoes iniciais.

    Mas fair enough, dado que disseste que as abordarias depois e estas sao de qualquer modo somewhat important e de resto muito interessantes (pelo menos para mim).

    By Blogger Tiago Mendes, at 4:43 da tarde  

  • Dizes tu que esta charada é irrelevante e que eu nunca disse que as minhas hipóteses eram irrealistas

    Em primeiro lugar não acho que seja necessário dizer que esta endowment economy é irrealista. Os meus leitores não são burros para precisarem destas coisas. Em segundo lugar, na resposta que dei a João Miranda, não só concordei com a limitação que ele apontou ao modelo como disse que a abordaria num futuro post.

    Qual a relevância desta charada?
    Com esta charada mostrou-se que se a economia funcionasse de uma determinada forma seria possível montar um esquema de Segurança Social que melhorasse a vida de toda a gente.

    Dizes tu que tal é conseguido à custa do maná caído do céu. Exactamente. Tens toda a razão. Pelo que quando se modificar o modelo e se passar a ter em consideração os incentivos que existem à produção, será necessário mostrar que os custos serão maior que os proveitos descritos na situação ideal.

    Isto é uma forma de construir um argumento. Descreve-se o cenário pior possível para a tua tese. e depois rebate-se esse cenário. Mas claro, é preciso ter paciência para esperar pelo depois...

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 4:47 da tarde  

  • "Eu disse de facto que o argumento se manteria com uma probabilidade estritamente positiva de continuar porque isso faz com que ela POSSA SER infinita,"

    A LGN mostra-nos que a probabilidade de tal acontecer é zero.

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 4:49 da tarde  

  • "Supõe que em cada período existe a 50% de hipóteses de acontecer algo. Se o número de períodos se estender indefinidamente, terás que a média convergirá para 50%. Isto é, de forma muito grosseira, a LGN."

    Sim , assumindo que os draws sao independentes entre si e que a probabilidade se mantem cosntante. Por exemplo, se lancares uma moeda ao ar, no longo prazo a frequencia de caras (e coroas) convergira EM PROBABILIDADE para 50%. Ok.

    "Supõe que em cada dia existe uma probabilidade estritamente positiva de o mundo acabar, a%, com a>0. À medida que os dias passam (com a amostra a crescer indefinidamente) em a% das vezes o mundo "acaba". Tal implica que terá mesmo de acabar (só à primeira, naturalmente)."

    Aqui e' que esta' o problema. E' que este processo, como sugeres no final, nao e' independente. Nao faz sentido dizer que o processo vai acabar "em a% de vezes" porque ele so pode acabar "1 vez". O que acontece e' que tu podes lancar uma moeda e ela NUNCA sair caras. Ou seja, ha/ uma probabilidade infinitesimal de nunca sair caras e do jogo continuar indefinidadmente. Ha' aqui de facto um conflito interessante entre este resultado e a LGN.

    A chave para resolver isto e' mais uma vez a passagem ao limite. REpara que o LGN diz e' que 'a mediad que a amostra aumenta, a media amostral tem que convergir em probabilidade, ou seja, a probabilidade do resultado estar longe da probabilidade populacional vai sendo cada vez (e artbitrariamente) menor. Mas isto nao invalida que ela de facto nunca se concretize. Ou seja, e' possivel que, com uma probabilidade de 1% do mundo acabar em cada periodo, de facto ele nunca acabe.

    A probabilidade de haver mundo amanha e' (0.99) elevando ao expoente t. Isto converge para zero 'a medida que t vai para infinito. Mas E' POSSIVEL que o mundo dure, e dure, e dure...

    O peuqeno paradoxo, de facto interessante, e' que a LGN usa um conceito de limite e convergencia que parece, mas NAO E' incompativel com isto. A intuicao aqui engana um pouco.

    "Basicamente, se pensares em processos de Markov, por muito baixa que seja a probabilidade de se mudar de um regime para outro, será uma questão de tempo até que a mudança ocorra de facto. A demonstração de tal é baseada na LGN."

    Sera' uma questao de tempo em termos de simulacao, de facto. Mas em termos teoricos existe a possibilidade de essa mudanca nunca se concretizar.

    By Blogger Tiago Mendes, at 5:00 da tarde  

  • ""Eu disse de facto que o argumento se manteria com uma probabilidade estritamente positiva de continuar porque isso faz com que ela POSSA SER infinita,"

    A LGN mostra-nos que a probabilidade de tal acontecer é zero."

    Caro, voltamos a confundir as coisas. Nao e' que "a probabilidade seja zero", mas sim "a probabilidade converge para zero". Como tento explciar no comentario anterior, tudo esta' na passagem critica ao limite e na interpretacao dessa convergencia.

    By Blogger Tiago Mendes, at 5:01 da tarde  

  • "Em primeiro lugar não acho que seja necessário dizer que esta endowment economy é irrealista. Os meus leitores não são burros para precisarem destas coisas. Em segundo lugar, na resposta que dei a João Miranda, não só concordei com a limitação que ele apontou ao modelo como disse que a abordaria num futuro post."

    Ok.

    "Qual a relevância desta charada?
    Com esta charada mostrou-se que se a economia funcionasse de uma determinada forma seria possível montar um esquema de Segurança Social que melhorasse a vida de toda a gente."

    Sim, assumindo que o "infinito" e' uma plausible assumption (nao acho que seja), e que a piramide etaria e' constante (fair enough).

    "Dizes tu que tal é conseguido à custa do maná caído do céu. Exactamente. Tens toda a razão. Pelo que quando se modificar o modelo e se passar a ter em consideração os incentivos que existem à produção, será necessário mostrar que os custos serão maior que os proveitos descritos na situação ideal. Isto é uma forma de construir um argumento. Descreve-se o cenário pior possível para a tua tese. e depois rebate-se esse cenário. Mas claro, é preciso ter paciência para esperar pelo depois..."

    Concordo totalmente. Alias, como disse desde logo, acho o exercicio muito interessante e imaginativo. Apenas registo que tu poderias ter "alertado" para o facto de nao acreditares na hipotese BASE que e' o mana from heaven. CLARO que tens todo o direito a nao o fazer. Eu so' achei que essa omissao, sobretudo porque poucos apontam isso nos comentarios, e' de tal forma distorcida, que achei que tinha o direito de antecipar essa critica.

    By Blogger Tiago Mendes, at 5:05 da tarde  

  • "Caro, voltamos a confundir as coisas. Nao e' que "a probabilidade seja zero", mas sim "a probabilidade converge para zero". Como tento explciar no comentario anterior, tudo esta' na passagem critica ao limite e na interpretacao dessa convergencia. "

    Escolhe qualquer epsilon, muito próximo de zero. A probabilidade de o mundo existir para sempre é inferior a esse epdsilon. Dado que isto é verdade para qualquer epsilon superior a zero. O que quer dizer que a probabilidade de o mundo durar para sempre é inferior a qualquer número superior a zero. Exceptuando os números negativos, o único número que é menor do que todos os números superiores a zero é mesmo zero. Pelo que a probabilidade de o mundo durar para sempre é zero.

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 5:11 da tarde  

  • ""Eu disse de facto que o argumento se manteria com uma probabilidade estritamente positiva de continuar porque isso faz com que ela POSSA SER infinita," A LGN mostra-nos que a probabilidade de tal acontecer é zero."

    Ainda sobre este tema. O problema esta' em comparar coisas que sao "extremas". Falo de infinitesimos e infinitos. Para isso, temos que usar relacoes como a deisgualdade de Checbyshev, que nao explicita o "valor" duma probabilidade, mas somente a "boundary". Todo e qualquer resultado na estatistica dos grandes numeros de baseia nos LIMITES e na CONVERGENCIA, mas nao sa suposta *exactidao* que tu sugeres ao dizer "A LGN mostra-nos que a probabilidade de tal acontecer é zero."

    Tudo e' relacional auqi. Podes dizer que a probabilidade se vai tornando arbitrariamente peuqena. QUe no limite a probabilidade sera' zero. Mas esse "limite" ja' apela ao "infinito" e nao apenas a um "horizonte longinquo". A questao da interpretacao do conceito do infinito e' a base de todas as confusoes, julgo eu. Em estatistica nao ha' certezas. Apenas pode haver destrza das duvidas.

    Podemos enquadrar estimativas em dados valores, podemos olhar para a velocidade de convergencia, mas onde ha' aleatoriedade em determinado proceso, nunca podera' haver certezas ABSOLUTAS. Podera' haver resultados NO LIMITE, esses sim SEGUROs, mas repito que esse LIMITE envolve o conceito de infinito!

    Brincar ao infinito da' nestes paradoxos interessantes.

    By Blogger Tiago Mendes, at 5:12 da tarde  

  • "A probabilidade de haver mundo amanha e' (0.99) elevando ao expoente t. Isto converge para zero 'a medida que t vai para infinito. Mas E' POSSIVEL que o mundo dure, e dure, e dure..."

    Se eu perguntar qual é a probabilidade de o mundo durar para sempre a resposta será
    0.99 levantado a infinito, o que é mesmo zero.

    Esta demonstração é semelhante a mostrar que 1=0.(9)

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 5:15 da tarde  

  • "Escolhe qualquer epsilon, muito próximo de zero. A probabilidade de o mundo existir para sempre é inferior a esse epdsilon. Dado que isto é verdade para qualquer epsilon superior a zero. O que quer dizer que a probabilidade de o mundo durar para sempre é inferior a qualquer número superior a zero. Exceptuando os números negativos, o único número que é menor do que todos os números superiores a zero é mesmo zero. Pelo que a probabilidade de o mundo durar para sempre é zero."

    Acho que podes confirmar com qualquer leitor matematico do teu blog que este resultado enferma duma falacia, que e' o mau entendimento do problema dos infinitesimais e infinitamente grandes, e o problema da continuidade.

    Falase-me num numero epsilon, digamos X. Imagina que X e' tao pequeno quanto tu queiras. Havera um numero que possa ser mais pequeno que este? Sim, claro., Por exemplo, X/2.

    A forma de tu colocares a questao e' errada, porque ignora o problema da continuidade dos numeros reais. Em qualquer intervalo real ha infinitos numeros. logo, pores a questao em termos de o unico numero menor que TODO e qualquer NUMERO positivo ser zero e' errada. ~Porque metade desse numero tambem o e'.

    Repara tambem na diferenca entre NUMEROS (plural) e NUMERO (singular).

    Se tu me perguntares qual e' o numero nao negativo que e' menor que TODOS os numeros positivos reais, eu direi que e' o zero.

    Mas se disseres qual e' o numero nao negativo que e' menor que QUALQUER NUMERO positivo, entao a resposta ja' nao e' (apenas) zero, mas qualquer numero positivo menor que esse numero EXACTO, como seja a sua metade.

    O problema no teu argumento e' que tu falas primeiro NUM numero epsilon, e depois gneralizas para TODOS OS NUMERO POSITIVOS. isto nao e' correcto na matematica. O que tu podes dizer, isso sim, e' que epsilon e' tao pequeno quanto se queira, mas epsilon e' sempre um numero determinado, ainda que abstracto e tao peuqeno que se queira. E' nessa diferenca entre o plural e o singular que se joga toda a diferenca.

    Seria bom confirmar isto com outros leitores do teu blog. DIgo-te isto com toda a honestidade porque tenho quase a certeza do que digo, mas nao absoluta. REcomendo novamente o livro "Conceitos fundamentais da matematica" para estas questoes.

    By Blogger Tiago Mendes, at 5:20 da tarde  

  • ""A probabilidade de haver mundo amanha e' (0.99) elevando ao expoente t. Isto converge para zero 'a medida que t vai para infinito. Mas E' POSSIVEL que o mundo dure, e dure, e dure..."

    Se eu perguntar qual é a probabilidade de o mundo durar para sempre a resposta será
    0.99 levantado a infinito, o que é mesmo zero.

    Esta demonstração é semelhante a mostrar que 1=0.(9)"

    Mas nao e' 0.99 levantado a infinito, e' o LIMITE de 0.99 levantado a t, quando t tende para infinito. Esse LIMITE e' de facto ZERO, mas e' um LIMITE e nao um RESULTADO em si.

    sinceramente, pedia-te que fizessemos uma pausa nisto e perguntasses a outros leitores como o Homoclinica ou o Jose Carlos Santos (?) que passassem por aqui e dessem uma espreitadela.

    Strictu sensu, nao acho que possas dizer que 1 = 0.(9)

    Isso acontece por AXIOMA, mas sao entidades diferentes. DE qualquer forma, isso nao altera o ponto, que e' estarmos a falar de LIMITES e nao de resultados em si, "palpaveis"

    By Blogger Tiago Mendes, at 5:23 da tarde  

  • A argumentação que te dei é muito pareceida com a que é usada para demonstrar que 0.(9)=1.
    Uma das demonstrações possíveis é a de demonstrar que 0.(9) é maior do que qualquer número inferior a 1. A outra usa mesmo o facto de que 0.1^(+oo) é igual a zero:
    0.(9)=9*(0.1 +0.01+0.001+0.0001+...)
    Temos uma pregoressão geométrica, pelo que:
    0.(9)=9*[0.1*(1-0.1^(+oo))/(1-0.1)]=9/9=1

    Eu limito-me a usar argumentos análogos.

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 5:27 da tarde  

  • "Strictu sensu, nao acho que possas dizer que 1 = 0.(9)"

    Nada disso. Isso está mais do que demonstrado. Qualquer livro de Análise real te traz esta demonstração.

    Já vou procurar uns links.

    E já agora tu quando dizwes que o mundo dura para sempre nao estás a dizer que t tende para infinito, estás mesmo a dizer que é infinito. Vou buscar os links sobre o 0.(9)=1

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 5:30 da tarde  

  • 0.(9) = 1, ok.

    O importante nisto tudo e' o conceito de limite e da passagem ao limite. Como se assume que o numero de "9's" sao infinitos, isso proporciona que ele seja igual a 1... porque o numero e' infinito.

    By Blogger Tiago Mendes, at 5:35 da tarde  

  • "Já vou procurar uns links."

    Nao precisas de o fazer, caro. Um ponto era ontologico-filosofico e nao analitico. No limite, 0.(9) = 1, certo.

    "E já agora tu quando dizwes que o mundo dura para sempre nao estás a dizer que t tende para infinito, estás mesmo a dizer que é infinito."

    O que eu digo e' que tu quando falas em resultados omites o problema da passagem ao limite. O infinito nao e' um numero, e' um conceito. Logo, nao e' dizer que t "'e" infinito, mas sim que t "tende" para infinito.

    Confesso que estou sem mais tempo para acompanhar isto hoje. Volto a convidar-te a que convides outros leitores teus para passarem por ca'.

    By Blogger Tiago Mendes, at 5:38 da tarde  

  • Ok, então se aceitas o resultado final, podemos fazer o raciocínio ao contrário. Para se chegar a esse resultado usa-se 0.1^(+oo)=0. O que implica que 0.9^(+oo)=0.

    Eu disse-te que ia buscar o link,mas entretanto chegou um aluno... vou ver se o encontro novamente.

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 5:41 da tarde  

  • "No limite, 0.(9) = 1, certo."

    Não é no limite. 0.9 recorrente é mesmo igual a um.

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 5:42 da tarde  

  • 0.9 recorrente é igual a um. Tal como 1/3=0.(3) e 2/3=0.(6).

    Sugiro como primeiro link http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.9999.html
    Daí poderás seguir para outros links até que te convenças. Chamo a atenção para que uma das demonstrações possíveis é exactamente a de mostrar que 0.(9) é maior do que qualquer número inferior a um. Não sei se esta demonstração aparecerá nos links, mas se não aparecer terás de acreditar em mim.

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 5:46 da tarde  

  • "Não é no limite. 0.9 recorrente é mesmo igual a um."

    Mas "0.9 recorrente" por definição envolve um conceito de limite.

    "Daí poderás seguir para outros links até que te convenças."

    Caro... vamos lá ter calma. Eu já tinha dito que concordava com a demonstração. O que eu frisei foi o rpoblema "ontológico-filosófico" que tem a ver com a noção de limite e de respetição INFINITA - repito: INFINITA - duma casa decimal. Isto é uma questão não tanto da matemática como é da meta-matemática.

    O meu ponto não era insistir nisto, ainda que valha a pena esclarecê-lo. O meu ponto era frisar a importância do conceito de passagem ao limite, que acho sinceramente que tu não entendeste. Daí que eu proponha uma pausa nesta interessante discussão e o convite a outros, mais especialistas, que de debruçem sobre isto.

    By Blogger Tiago Mendes, at 5:56 da tarde  

  • " O meu ponto era frisar a importância do conceito de passagem ao limite, que acho sinceramente que tu não entendeste."

    Mas é graças a essa passagem que a probabilidade de o mundo durar para sempre é zero. Porque tu mudas de uma situação de tendência (t->+oo) para uma situação de t=+oo.

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 6:02 da tarde  

  • O problema continua a estar no "para sempre" e no "t = oo"...

    A questão é: a probabilidade do mundo NUNCA acabar, isto é, de continuar período após período, sendo que em cada período há uma probabilidade X de ele acabar, que é independente e constante, não é nula. Tende para zero, mas não é nula.

    By Blogger Tiago Mendes, at 6:11 da tarde  

  • Vou fazer copy paste da resposta de um professor a uma aluna sobre o 0.(9) ser igual a um. Chamo a tua atenção para o argumento que ele usou. Disse que o "gap" entre 0.(9) e 1 é menor do que qualquer número maior do que zero.
    Foi exactamente esse um dos argumentos que apresentei atrás. Que o "gap" entre a Probabilidade de o mundo durar para sempre e zero é sempre menor do que qualquer número positivo. De qualquer forma tendo a concordar contigo, este começa a ser um diálogo de surdos, e não me parece que tu estejas disposto a mudar de opinião. Como também acho que não estou, as regras necessárias para um debate ser interessante não existem, pelo que me quedo por aqui.




    Subject: 0.999999=1?

    Name: Catherine

    Who is asking: Student
    Level: Secondary

    Question:
    Hi! My teacher told us that 0.9 repeating equals one. We discussed how this is true. But, I was wondering if there is a proof that this is true. If so what is this called? I was trying to find information, but, it's hard when you don't know the name.

    Catherine

    Hi Catherine,
    While there are various arguments that 'show' this equality is the 'right way to think about it', my favourite is the following.

    IF the two numbers 0.99999... and 1 were NOT equal, you would have a number to represent the difference (the GAP or Distance between them) - and it should not be 0.

    So what is the difference?

    It is a number smaller than 0.0001, smaller than 0.000001, ....

    So this really comes out to the question: is there a number smaller than 0.0001, 0.0000001, .... but bigger than 0?

    When you check there is no such number. The gap between them really is 0. Of course it is a bit obscure since we are dealing with 'infinite processes' (sometimes called limits) whenever we work with decimal numbers which do no terminate. Hard to think about an infinite process with a finite mind and a finite amount of time. However, amazingly, we do manage to do it.

    Walter Whiteley
    York University

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 6:20 da tarde  

  • Muito interessante o diálogo (estou a ser sincero). Eu estou disposto a mudar de opinião. Sempre. Neste caso eu percebo o teu ponto tal como o formulas aqui:

    " Disse que o "gap" entre 0.(9) e 1 é menor do que qualquer número maior do que zero.
    Foi exactamente esse um dos argumentos que apresentei atrás. Que o "gap" entre a Probabilidade de o mundo durar para sempre e zero é sempre menor do que qualquer número positivo."

    O problema é que esse "gap" só faz sentido "no limite". E o número 0.(9) também ele recorre à noção de infinito, já que tem uma repetição infinita de "9'". Ou seja, eu concordo que NO LIMITE a probabilidade é zero. Mas isso é no limite. E o limite... élas, nunca "acontece" - senão deixava de haver "infinito".

    Este é quanto a mim o problema meta-matemático em causa.

    De qualquer modo, não sei se estás disposto a admitir isso, mas a tua formulação aqui NAO é equivalente a esta que destes antes:

    "Escolhe qualquer epsilon, muito próximo de zero. A probabilidade de o mundo existir para sempre é inferior a esse epdsilon. Dado que isto é verdade para qualquer epsilon superior a zero. O que quer dizer que a probabilidade de o mundo durar para sempre é inferior a qualquer número superior a zero. Exceptuando os números negativos, o único número que é menor do que todos os números superiores a zero é mesmo zero. Pelo que a probabilidade de o mundo durar para sempre é zero. "

    Repara que é diferente falares do "todos os números superiores a zero" e falares de um número em concreto, qualquer que ele seja.

    Eu até acho que a demonstração de 0.(9) = 1 pode ser feita simplesmente com:

    0.(9) = 9 x 0.(1) = 9 x 1/9 = 1

    Embora a passagem 0.(1) = 1/9 seja ela própria não imediata, uma vez que é algo semelhante que temos a provar.

    Resumindo, a minha única divergência vem da interpretação de INFINITO e de LIMITES. Recomendo-te, com toda a amizade, o tal livrinho do professor Caraça. Depois voltamos a falar, hopefully.

    By Blogger Tiago Mendes, at 6:32 da tarde  

  • Onde está:
    "Dado que isto é verdade para qualquer epsilon superior a zero. O que quer dizer que a probabilidade de o mundo durar para sempre é inferior a qualquer número superior a zero."

    deveria estar:
    "Dado que isto é verdade para qualquer epsilon superior a zero, a probabilidade de o mundo durar para sempre é inferior a qualquer número superior a zero."

    Se é verdade para qualquer número maior que zero também é verdade para todos os números maiores que zero. Não me parece que esteja a dar um salto lógico muito grande.

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 6:56 da tarde  

  • "Se é verdade para qualquer número maior que zero também é verdade para todos os números maiores que zero. Não me parece que esteja a dar um salto lógico muito grande."

    Mas acho que estás, caro :)

    Isto tem q ver com continuidade e cardinalidade dos números reais, que é superior à dos números racionais (que é igual à dos números inteiros).

    É verdade para CADA NUMERO EM CONCRETO que tu escolhas. Isso quer dizer que é valido PARA TODOS os numeros em concreto que tu escolhas desde que estejas a referir-te a CADA UM DELES de cada vez. Mas não a eles como um todo.

    By Blogger Tiago Mendes, at 7:05 da tarde  

  • Seja P a probabilidade de o mundo nunca acabar.
    Considere-se o intervalo (0,1]. aberto em o, fechado em um.
    Se P é menor que que qualquer valor no intervalo (0,1], então é no máximo igual ao limite inferior. Ora o limite inferior do intervalo é mesmo zero.

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 7:15 da tarde  

  • Bem, vou para casa.
    Até amanhã. Diverte-te por aí, por terras de sua majestade.
    Ia-te dizer que aqui está um sol lindo, mas depois apercebi-me que já é de noite... mas esteve um sol lindo na mesma.

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 7:23 da tarde  

  • "Se P é menor que que qualquer valor no intervalo (0,1], então é no máximo igual ao limite inferior. Ora o limite inferior do intervalo é mesmo zero."

    "0" é de facto o ínfimo. Contudo, o problema está na formulação da pergunta. Porque podes dizer que para TODO e QUALQUER valor em (0, 1] é sempre possível encontrar um número menor, que é esse a dividir (por exemplo) por 2. Em termos de limites, creio que esta é a forma certa de por a questão. Mas não estou seguro.

    Anyway, grande discussão :)

    Também me vou. Abraço,

    By Blogger Tiago Mendes, at 8:54 da tarde  

  • Já de casa. Seja Pn a probabilidade de o mundo durar n períodos. Temos assim que
    Pn=0.99^n (usando o teu exemplo anterior)
    Seja P a probabilidade de o mundo durar para sempre. Como para o mundo durar para sempre também tem de durar n períodos temos que P é menor ou igual que Pn.

    Vamos supor que P é positivo, P>0, e considere-se epsilon > 0 e igual a P/2. Temos então que 0 < epsilon < P.

    Mas dado que epsilon é maior que zero é fácil de concluir que existe um N, tal que para n>N tenhamos Pn < epsilon.

    Mas como P não pode ser maior que Pn temos também que P < epsilon. Contradição, porque assumimos que epsilon < P. Conclui-se assim que P não pode ser maior do que zero.

    Demonstração por contradição. Uma das minhas técnicas preferidas, apesar de ser pouco informativa a respeita da verdadeira estrutura do problema.

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 10:35 da tarde  

  • Também adoro demonstrações por contradição e redução ao absurdo. Estou à rasca com uma coisa para amanhã, pelo que só te responderei pela tarde de amanhã. Abraço,

    By Blogger Tiago Mendes, at 10:54 da tarde  

  • Mas, caro, voltamo sempre ao mesmo. Eu nunca disse que o LIMITE não é zero.

    A minha formulação é antes, que:

    A probabilidade do mundo durar para sempre é, NO LIMITE, zero.

    Porque repara que se tu dissesres que é zero, omitindo o limite, podes fazer o cálculo da probabilidade complementar e dizer que a probabilidade do mundo acabar NUM qualquer periodo (isto é, de acabar em tempo finito) é 1.

    Mas isto contradiz a hipótese de que em QUALQUQE periodo existe uma probabilidade - por infima que seja - de a vida continuar!

    Isto sim parece-me uma demonstração por contradição inatacável.

    O problema, repito, está na forma como tu (ab)usas o conceito de limite, creio. Mas confesso que estamos há 10 ou 20 comments a dizer a mesma coisa... não sei se é frutuoso.

    Creio que o erro na tua demonstração está em em achares que o teu epsilon é generalízável. É que tu podes dizer que, tal como para QUALQUER epsilon, haverá um N tal que Px < epsilon para x > X, também podes continuar o argumento e depois dizer que há outro epsilon.

    Ou seja, eu quando sugeri dividir sobre dois, apenas sugeria que QUALQUER que seja o número que tu ecolhas, é sempre possível arranjar um número menor. Isto volta ao problema dos infinitamente grandes e da continuidade. Julgo que a demonstração de que a probabilidade de o mundo durar para sempre não é zero, é a que eu sugeri:

    1. A probabilidade do o mundo existir ao fim de n periodos é 0.99^n

    2. Logo, a probabilidade de o mundo nunca acabar - repara que eu não uso o "para sempre" de propósito, mas sim o de nunca acabar, período apõs periodo - TENDE para zero. E É DE FACT ZERO **NO LIMITE**

    3. Como "nunca acabar" é complementar de "acabar em algum período" as probbildidades têm que somar 1.

    4. Ora, se a probabilidade de o mundo nunca acabar fosse zero, a probabilidade de ele acabar em algum periodo seria 1. Mas isto contradiz a hipótese de que EM CADA período ele possa continuar.

    O problema, repito, está na interpretação (quanto a mim abusiva) que fazes do conceito de LIMITE.

    By Blogger Tiago Mendes, at 10:38 da manhã  

  • O meu único conselho, não paternalista, é que tentes perceber porque é 0.(9)=1, e se vires várias demonstrações do mesmo verás que algumas delas coincidem exactamente com a minha argumentação. E também verás que a tua argumentação coincide exactamente com a argumentação daqueles que se recusam a aceitar que 0.(9)=1. Na verdade eles, tal como tu, não conseguem dar o salto para o limite.

    A mim parece-me que o problema está em tu seres tão teimoso e em não conseguires perceber o conceito de limite, pelo que te recusas a aplicá-lo e a aceitar as suas consequências. A verdade é que estes conceitos são muito pouco intuitivos e parece-me que não consegues lidar bem com isso.

    Como tu, muito provavelmente, julgas que eu tenho o mesmo problema, não vale, realmente, a pena continuar.

    Chegámos a uma daquelas situações em que mais concordar em discordar.

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 11:14 da manhã  

  • Concordemos então em discordar, ao menos assim concordamos em alguma coisa.

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 11:16 da manhã  

  • Vale. Acho que temos então de concordar em discordar. Eu julgo que a passagem ao limite que tu fazes é algo abusiva, mas entendo o teu ponto. Acho que a minha proposta de demonstração por contradição corrobora o que eu disse.

    Publiquei entretanto um post, vê lá o que achas.

    By Blogger Tiago Mendes, at 11:21 da manhã  

  • Prometo que esta é a minha última tentativa. :)

    “4. Ora, se a probabilidade de o mundo nunca acabar fosse zero, a probabilidade de ele acabar em algum periodo seria 1. Mas isto contradiz a hipótese de que EM CADA período ele possa continuar.”

    Não contradiz nada, porque tu não está a calcular a probabilidade de o mundo acabar num período em concreto mas sim em qualquer um que vai até ao infinito.

    A probabilidade de o mundo acabar em algum período é igual à probablidade de o mundo acabar no período 1 mais a probabilidade de acabar no período 2 mais a probabilidade de acabar no 3 e por aí fora, ou seja:
    0.01+0.01*0.99+0.01*0.99^2+0.01*0.99^3+0.01*0.99^4+...
    =
    0.01(1+0.99+0.99^2+0.99^3+0.99^4+...)
    =
    0.01*1/(1-0.99)=1

    Como podes ver, mais uma vez, esta demonstração torna a ser igual à demonstração de 0.(9)=1. É engraçado porque realmente nem me tinha apercebido que isto se pode demonstrar de tantas maneiras diferentes e que em quase todas elas encontrei sempre um demonstração análoga.

    By Blogger Luís Aguiar-Conraria, at 11:30 da manhã  

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