Quiz 8 - resposta

A resposta ao Quiz 8 dada pelo LA-C (com pequena edição minha):

Comecemos pelo que sabemos: P é primo maior que 3. Queremos provar que (P^2 - 1) é divisível por 12. Para tal basta provar que é divisível por 4 e também por 3. Começo por notar duas coisas:

1) P tem de ser um número ímpar (caso contrário seria divisível por 2);

2) (P - 1) (P + 1) = P^2 + P - P - 1 = P^2 - 1;

a) Se P é ímpar, (P - 1) e (P + 1) são ambos números pares. Assim, (P^2 - 1) = (P - 1) (P + 1) é igual ao produto de dois números pares (ambos divisíveis por 2), logo, tem de ser divisível por (2 x 2) = 4;

b) Basta agora provar que (P^2 - 1) é divisível por 3. Sabemos que em três números inteiros consecutivos (positivos), um deles terá de ser divisível por 3. Como P não é divisível por três (pois é primo), obrigatoriamente ou (P - 1) ou (P + 1) tem de ser um múltiplo de 3, pelo que (P - 1) (P + 1) é divisível por 3;

c) Juntando a) e b) temos o resultado pretendido.