aforismos e afins

02 março 2006

Quiz 8

Demonstre que para qualquer número primo p maior que 3 se verifica que p ao quadrado é igual a um múltiplo de 12 mais uma unidade.

O LA-C, o Miguel Madeira, o João e o Pedro Romano (ajudado por familiares num animado serão) já acertaram - parabéns.

6 Comments:

  • Tiago, estas a apertar com o pessoal!

    By Blogger Joao, at 5:59 da tarde  

  • Tem de ser, Joao. Ja' me estavam a "acusar" do Quiz 7 ser demasiado facil, e ele ha' coisas que um tipo nao se pode deixar ficar ;-)

    (More to come soon).

    By Blogger Tiago Mendes, at 6:21 da tarde  

  • Comecemos pelo que sabemos:
    P é primo maior que 3
    Queremos provar que P^2-1 é divisível por 12.
    Para tal basta provar que é divisível por 4 e também por 3.

    Começo por notar duas coisas:
    1) P tem de ser um número ímpar (caso contrário seria divisível por 2)
    2) (P-1)(P+1) = P^2 +P-P-1 = P^2-1

    a) Se P é ímpar, P-1 e P+1 são pares. Assim P^2-1 = (P-1)(P+1) tem de ser igual ao produto de dois números pares, ou seja tem de ser divisível por 4.

    b) Basta agora provar que P^2-1 é divisível por 3. Sabemos que em três números inteiros consecutivos (positivos) um deles terá de ser divisível por 3. Como P não é divisível por três (pois é primo), obrigatoriamente ou P-1 ou P+1 tem de ser um múltiplo de 3, pelo que (P-1)(P+1) é divisível por 3.

    c) Juntando a) e b) temos o resultado pretendido

    By Anonymous LA-C, at 10:57 da manhã  

  • “p ao quadrado é igual a um múltiplo de 12 mais uma unidade” é a mesma coisa que “p ao quadrado menos uma unidade é um múltiplo de 12”

    P^2 – 1 é igual a (P - 1)*(P + 1)

    Como P é impar (como todos os primos excepto 2), tanto P-1 como P+1 são pares (ou seja, múltiplos de 2). O produto de dois múltiplos de 2 será um múltiplo de 4 (2*2).

    Por outro lado, os múltiplos de 3, como é óbvio, seguem de 3 em 3: 3, 6, 9, 12, etc, o que significa que, numa sequência de 3 números seguidos, um (e só um) será um múltiplo de 3. Assim (P – 1), P ou (P+1) serão, um deles, múltiplo de 3. Como P não é um múltiplo de 3 (se o fosse, não seria primo), isso significa que P – 1 ou P + 1 , um deles será um múltiplo de 3. Logo (P - 1)*(P + 1) será um múltiplo de 3.

    Desta forma, como (P – 1)*(P + 1) é tanto um múltiplo de 3 como de 4, será também um múltiplo de 12 (3*4).

    Aliás, diria que isto é valido, não apenas para os números primos, mas para qualquer “p” impar e não divisível por 3

    By Blogger Miguel Madeira, at 1:34 da tarde  

  • Destas, passo. Já me falta a ginástica para formalismos.

    By Blogger jcd, at 9:57 da manhã  

  • p x p = 12K + 1

    (em que p=número primo e K pertence ao conjunto de N)

    Passamos o 1 para o outro lado e ficamos com:

    p x p - 1 = 12K

    que pode ser decomposto em

    (p-1)(p+1)= 12K

    Para provar que a o primeiro membro é multiplo de 12 basta provar que é multiplo de 4 e de 3.

    Multiplo de 4: como p é impar (é primo...), entao (p-1) e (p+1) são pares, bem como o produto dos dois. Como p>3, então além de par também é multiplo de 4.

    Multiplo de 3: em três numeros consecutivos, pelo menos um tem de ser multiplo de 3.
    Assim, do conjunto (p-1), (p+1) e p, pelo menos um tem de ser multiplo de 3. O próprio p não pode ser - porque assim não seria primo; de qualquer forma, restam dois numeros; se um deles é multiplo de 3 (e tem de ser, pelo motivo enunciado antes), então toda a expressão é multipla de 3.

    Portanto, p x p - 1 é multiplo de 3 e de 4; e, por conseguinte, de 12.

    Propus o quiz a um membro da familia ao jantar e depressa se tornou num desafio conjunto.
    A bem da verdade, diga-se que o mérito da resposta (se estiver certa, e parece-me que está, embora a minha matemática esteja muito enferrujada) se deve mais a esse familiar do que ao meu labor.

    By Blogger pedroromano, at 11:25 da tarde  

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