Quiz 8
Demonstre que para qualquer número primo p maior que 3 se verifica que p ao quadrado é igual a um múltiplo de 12 mais uma unidade.
O LA-C, o Miguel Madeira, o João e o Pedro Romano (ajudado por familiares num animado serão) já acertaram - parabéns.
posted by Tiago Mendes at
9:17 da manhã
5 Comments:
Tiago, estas a apertar com o pessoal!
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Joao, at 5:59 da tarde
Tem de ser, Joao. Ja' me estavam a "acusar" do Quiz 7 ser demasiado facil, e ele ha' coisas que um tipo nao se pode deixar ficar ;-)
(More to come soon).
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Tiago Mendes, at 6:21 da tarde
Comecemos pelo que sabemos:
P é primo maior que 3
Queremos provar que P^2-1 é divisível por 12.
Para tal basta provar que é divisível por 4 e também por 3.
Começo por notar duas coisas:
1) P tem de ser um número ímpar (caso contrário seria divisível por 2)
2) (P-1)(P+1) = P^2 +P-P-1 = P^2-1
a) Se P é ímpar, P-1 e P+1 são pares. Assim P^2-1 = (P-1)(P+1) tem de ser igual ao produto de dois números pares, ou seja tem de ser divisível por 4.
b) Basta agora provar que P^2-1 é divisível por 3. Sabemos que em três números inteiros consecutivos (positivos) um deles terá de ser divisível por 3. Como P não é divisível por três (pois é primo), obrigatoriamente ou P-1 ou P+1 tem de ser um múltiplo de 3, pelo que (P-1)(P+1) é divisível por 3.
c) Juntando a) e b) temos o resultado pretendido
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Anónimo, at 10:57 da manhã
“p ao quadrado é igual a um múltiplo de 12 mais uma unidade” é a mesma coisa que “p ao quadrado menos uma unidade é um múltiplo de 12”
P^2 – 1 é igual a (P - 1)*(P + 1)
Como P é impar (como todos os primos excepto 2), tanto P-1 como P+1 são pares (ou seja, múltiplos de 2). O produto de dois múltiplos de 2 será um múltiplo de 4 (2*2).
Por outro lado, os múltiplos de 3, como é óbvio, seguem de 3 em 3: 3, 6, 9, 12, etc, o que significa que, numa sequência de 3 números seguidos, um (e só um) será um múltiplo de 3. Assim (P – 1), P ou (P+1) serão, um deles, múltiplo de 3. Como P não é um múltiplo de 3 (se o fosse, não seria primo), isso significa que P – 1 ou P + 1 , um deles será um múltiplo de 3. Logo (P - 1)*(P + 1) será um múltiplo de 3.
Desta forma, como (P – 1)*(P + 1) é tanto um múltiplo de 3 como de 4, será também um múltiplo de 12 (3*4).
Aliás, diria que isto é valido, não apenas para os números primos, mas para qualquer “p” impar e não divisível por 3
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Miguel Madeira, at 1:34 da tarde
Destas, passo. Já me falta a ginástica para formalismos.
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jcd, at 9:57 da manhã
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