aforismos e afins

13 dezembro 2005

Quizz nº 2

100 pessoas serão ordenadas aleatoriamente numa fila indiana, de tal modo que cada pessoa só verá aquelas - e todas aquelas - que se encontrem à sua frente. A cada pessoa será colocado um chapéu preto ou branco na cabeça. Ninguém saberá a cor do seu chapéu de antemão. Qualquer pessoa conseguirá ver a cor dos chapéus de todas as pessoas que se encontrem à sua frente, mas não a cor dos chapéus das pessoas que estão atrás. Por exemplo, a pessoa que ficar em 45º lugar conseguirá ver 44 chapéus. O número de chapéus brancos poderá ser qualquer entre 0 e 100. Ou seja, ninguém sabe a priori qual é o número total de chapéus brancos que irão ser colocados nas 100 pessoas.
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Cada pessoa, a começar na última pessoa da fila (a nº 100) terá que responder à pergunta «O seu chapéu é branco?». A pergunta será igual para todas as pessoas. Depois da pessoa nº 100, responderá a nº 99, nº 98, ..., até se chegar à primeira da fila. Só há duas respostas possíveis: SIM, e NÃO. Repito: as únicas respostas possíveis são SIM e NÃO. Isto é uma imposição do desafio. Todas as pessoas ouvirão as respostas dadas.
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No final só poderá haver, no máximo, uma resposta errada. As 100 pessoas, antes de serem ordenadas e questionadas acerca da cor do seu chapéu, terão oportunidade de se reunir, conversar, e procurar uma "forma expedita" de ultrapassarem o desafio proposto, ou seja, de terem a certeza absoluta de que chegarão ao fim das 100 perguntas com um máximo de uma resposta errada qualquer que seja o número efectivo de chapéus brancos.
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NOTA: quando as pessoas se reúnem na sala, elas não sabem quantos chapéus é que há. Os chapéus só serão colocados depois das pessoas estarem ordenadas na fila. Logo, quando as pessoas se reúnem na sala, não sabem nem o número total de chapéus brancos, nem o lugar onde vão ficar na fila.
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1. O que "combinarão" as pessoas de forma a ultrapassar o desafio? Porquê? 2. Haverá mais do que uma resposta ao problema? Porquê?
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Podem deixar dúvidas quanto ao enunciado e respostas nos comentários (temporariamente escondidos), ou fazê-lo por email. De notar que acrescentei uma segunda pergunta, que visa explicar um pouco melhor a intuição da resposta à primeira.
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PS: Já há respostas certas, do LA , do Miguel Madeira, do Manuel Pacheco, do CMF, do Karloos, e do Ra.

posted by Tiago Mendes at 4:44 da tarde

16 Comments:

  • O texto deixa muitas possibilidades em aberto e não se percebe de que tipo de regra estamos a falar. Partindo do pressuposto que o número de chapeus brancos não pode ser decidido pelas pessoas, que não existe um limite relativamente ao tipo de resposta a ser dada, e de que a pessoa da frente consegue ouvir a resposta dada pela de trás, a resposta tipo deve ser:
    «Sim/Não, ao contrário/ à semelhança do meu colega da frente.»
    Neste caso, o número esperado de respostas certas seria 99.5 :).

    By Blogger Carlos Guimarães Pinto, at 5:09 da tarde  

  • Obrigado, caro. TInha-me esquecido disso. Diz-me se está mais claro MAS NAO respondas ao Quizz já que ainda não estou a moderar comments!

    By Blogger Tiago Mendes, at 5:19 da tarde  

  • Tiago, estou aqui a pensar numa solução que implica umas contas decimal-binário por parte de cada uma das 100 pessoas! Se calhar é defeito de formação, mas aqui vai:
    O 100º olha para todos os que estão à sua frente e, considerando um 0 para chapéu branco e 1 para chapéu preto, forma uma sequência binária com 99 dígitos e converte para decimal, sendo a sua resposta o número obtido. Aos restantes, basta descodificarem o número e responderem de acordo com a sua posição na fila. Claro que isto acaba por ser a mesmo coisa que o 100º dizer apenas 011010111..., ou seja, dizer a côr de todos os chapéus (no fundo, é essa a informação que ele dá, mesmo respondendo com um simples número decimal), por isso não sei se será válido (para além de ser muito complicado, por causa das contas). (vou pensando noutra solução.)

    CMF

    By Blogger CMF, at 6:01 da tarde  

  • Facil, o que interessa e passar informacao aos da frente! Se o 100 ve um numero par de gorros brancos, diz sim, senao diz nao! Assim o resto do pessoal ja pode saber se tem um branco ou preto. E o 100 tem 50% de hipoteses!
    Ha um comentario para ti, la em baixo, sobre o metodo de monte carlo e os infinitos!
    luis

    By Blogger LA, at 6:18 da tarde  

  • O 100º conta o número de chapéus brancos que vê.

    Se for par, é "Sim", se for impar, "Não".

    O 99º sabe se o total (excluindo, claro, o 100º) de chapeus brancos é par ou impar. Conta os 98 à sua frente: se os brancos forem pares e o total for par, o seu é preto (mutatis mutandis...).

    O 98º já sabe se o total dos 99 é par ou impar; só tem que subtrair a resposta que o 99 deu, e fica a saber se o total dos 98 é par ou impar, contar os 97 à sua frente, e sabe qual é cor do seu chapéu.

    E assim por diante (no fundo, eles só tem que, quando ouvirem o primeiro "sim"/"não" pensarem "par"/"impar", e sempre que ouvirem um "sim", trocarem mentalmente de "par" para "impar" e vice-versa)

    By Blogger Miguel Madeira, at 7:11 da tarde  

  • Quando se reúnem, combinam que o 100º responderá SIM ou NAO, conforme o número de chapéus brancos que vê à sua frente seja PAR ou ÍMPAR. A partir daí é trivial: o seguinte só tem que contar os chapéus brancos que vê, aferir a paridade, e concluir a cor do seu de acordo com a informação que veio de trás. O seguinte, vendo os que tem à frente, e sabendo, de certeza, a cor do anterior, também decide correctamente. E por aí fora...o primeiro da fila tem apenas que "contar" as respostas anteriores, e ter em conta a resposta do 100º...
    (acreditas que cheguei a esta conclusão através de um raciocínio binário-decimal outra vez? Vícios...)

    CMF

    By Blogger CMF, at 10:24 da tarde  

  • A primeira pessoa a responder, a nº100, irá indicar pela sua resposta se o número de pessoas com chapéu branco à sua frente é par ou ímpar. As pessoas seguintes tendo como base esta informação e as respostas das pessoas anteriores poderão sempre adivinhar a côr do seu próprio chapéu, observando o número de chapeus brancos à sua frente.
    Não penso ser possível um outro método para além das duas alternativas: a resposta sim corresponder a um número par e a resposta não a um número impar, ou resposta sim - ímpar, não - par. Nenhum outro método binário baseado no número de chapeus teria a mesma eficácia. Por exemplo: se a resposta não correspondesse a dizer que o numero de chapeus brancos não era um múltiplo de 3 e a pessoa 99 visse 31 chapéus brancos à sua frente, não saberia o que responder.
    O número de respostas certas esperado com esta solução seria 99.5.

    By Blogger Carlos Guimarães Pinto, at 11:23 da tarde  

  • Ainda em relação às tuas conclusões sobre o primeiro Quizz

    saudações

    I-A noção de veracidade, ou de verdade, enquanto adequação ou correspondência com os factos e estados-de-coisas, é de todo impertinente para a aferição da correcção de um argumento. Já as noções de consistência, implicação material e validade formal são noções tâo pertinazes neste âmbito que o seu desconhecimento implica a incompreensão absoluta do objecto de estudo da lógica formal.
    Os argumentos/inferências lógicas são estruturas formais compósitas que articulam sequente e consistentemente proposições designadas premissas e proposições designadas conclusões, independendo o seu valor lógico do conteúdo semântico dessas proposições. A lógica moderna/formal não é semantic sensitive, de modo que não tem sentido falar do sentido "em si" de uma proposição ou falar da sua veracidade.

    II - Para definir o valor lógico dos conectores verofuncionais "^" (conjunção) e "V" (disjunção),apresentou duas equivalências válidas ( no sentido em que têm a mesma tabela de verdade), mas que, em rigor, não são definições destas conectivas. Assim, deveria dizer (por exemplo) que:
    a)a conjunção é uma operação lógica que resulta verdadeira se, e apenas se,as proposições que conecta forem ambas verdadeiras;
    b)a disjunção é uma operação lógica que resulta verdadeira se, e apenas se, houver uma das proposições conectadas verdadeira(isto no caso da disjunção inclusiva e não no caso da disjunção exclusiva).

    III - No âmbito estrito de uma lógica bivalente, só são admissíveis dois valores de verdade das proposições - verdade e falsidade -, embora seja pertinente referir o carácter multímodo (e permissível à admissão de outros valores de verdade)da lógica contemporânea:lógicas polivalentes, lógicas modais, lógicas temporais, lógicas deônticas e imperativas, erotéticas , naturais, informais e conversacionais, etc, etc...
    Algumas destas lógicas são polivalentes ou simplesmente relevam o conceito de verdade lógica.

    IV - Embora alguns paradoxos tornem indecidível o cálculo lógico da verdade ou falsidade de uma proposição, nem todos os paradoxos lógicos (há outros:relativos à física-o paradoxo do gato de Schrodinger;relativos à teoria da acção-o dilema do prisioneiro e o paradoxo de NEWCOMB sobre a teoria da escolha racional)remetem, de modo estrito, para as noções de verdade ou falsidade. Os paradoxos de Russel e Cantor, atinentes à noção de conjunto, são talvez um bom exemplo. Relembre-se também que, não obstante a sua natureza aporética e desafiadora da racionalidade (na qual se compraz um certo aracionalismo coevo), os paradoxos foram/são objecto de tratamento racional.

    By Anonymous Anónimo, at 2:36 da tarde  

  • Caro p. ferr.:

    Obrigado pelo comentário.

    I. Totalmente de acordo. Foi isso que eu enfatizei, sem entrar num discurso tao hermético e pouco assissível ao comum mortal :)

    II. Concordo. Acho que no entanto que o que eu afirmei está correcto, ainda que não seja tão rigoroso como o que apresentaste em a) e b), mas achei que isso seria excessivamente formal. Mas de facto é mais rigoroso. POint taken.

    III. Acho um pouco excessiva esta digressão, to be honest. Acho que focar "veracidade, falsidade, e paradoxo" é possível e útil, porque concentra a atenção em algo que é impirtante e tantas vezes esquecido. Repara que eu falo de "algumas" lições, não falo de "todas" as lições a extrair do exemplo. O ponto não é fazer um tratado de lógica mas dar algumas "dicas" for everyday use. Por exemplo, a ideia do Godel recorre a um brilhante paradoxo para demonstrar a incompletude de um sistema axiomático formal.

    IV. Verdade. Nem todos remetem para isso. Apenas frisei este em particular. Tenho um gosto especial pelo paradoxo de Russell (do barbeiro) mas acho que esse é demasiado conhecido para por como Quizz :) O outro que talvez sugira é o de Newcomb, que é o "free will paradox", muito interessante e com grandes implicações para tudo na vida... ainda hoje o JOão mIranda escrevu um post sobre determinismo e free will, algo critic´vel, mas interessante.

    Um abraço,

    By Blogger Tiago Mendes, at 4:30 da tarde  

  • Eu encontrei a solucao certa, mas nao tenho nada a ver com o http://oinsurgente.blogspot.com/ !!
    Eu nao tenho um blog! E outro LA!!
    luis alves

    By Blogger LA, at 4:50 da tarde  

  • Ok luis, sorry! É que no "moderate commets" náo vejo as identidades ;)

    Mas no teu profile nao aparece qualquer blog, qual é?

    By Blogger Tiago Mendes, at 11:03 da tarde  

  • Não sei ao que te referes quando dizes: "As 100 pessoas, antes de serem ordenadas e questionadas acerca da cor do seu chapéu, terão oportunidade de se reunir, conversar, e procurar uma "forma expedita" de ultrapassarem o desafio proposto...".
    Se as pessoas poderem usar a entoação das palavras no desafio, tenho uma solução: o nº100 dá a resposta da cor do chapéu do nº99 que desta forma saberá a cor do seu próprio chapéu. Depois o nº99 dá a resposta à cor do seu chapeu a dois níveis de entoação diferentes, por exemplo:
    1) se o chapeu da frente for branco dirá a sua resposta em tom alto; 2) se o chapéu da frente for preto dirá a sua resposta em tom baixo; desta forma o nº posterior saberá sempre a resposta à cor do seu chapéu. Depois é só utilizar esta técnica sequencialmente e só a resposta do nº 100 é que poderá estar errada.

    By Anonymous Anónimo, at 11:17 da manhã  

  • Ora bem.

    A primeira pessoa a reponder (centésima na fila) dirá, por exemplo:

    SIM - se o número de chapéus brancos à sua frente for par
    NÃO - se for ímpar.

    O segundo estará a ver todos os chepéus menos o próprio. Se estiver a ver um número par de chapeus brancos, sabe que o seu é preto, se estiver a ver um número ímpar, o seu só pode ser branco (está a ver menos um chapéu branco que o primeiro declarante e só pode ser o seu).

    Se todos estiverem com atenção, de cada vez que algúem disser branco, muda a paridade e a coisa vai bem até ao fim.

    By Blogger jcd, at 5:31 da tarde  

  • E onde foi parar o meu comentário? Estive eu aqui a dar-me ai trabalho de depois, nada?

    Daqui para a frente só por e-mail...

    By Blogger jcd, at 10:53 da manhã  

  • Caro JCD,

    Lapso meu. COmo tinha o comentário colado ao outro (do quizz 3) pensei que fosse repetido. Já o publiquei e vou actualizar a lista! Abraço,

    By Blogger Tiago Mendes, at 11:20 da manhã  

  • ver

    By Anonymous Anónimo, at 6:39 da tarde  

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